Mathematik HTL 3, Schulbuch

89 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Wenn eine Funktion f in einer Umgebung von a mindestens zweimal differenzierbar ist, dann wird f in einer kleinen Umgebung von a durch die quadratische Funktion q mit q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) +   1 _ 2 ·f’’(a)·(x – a) 2 „noch besser angenähert” als durch die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a). Wir nennen diese quadratische Funktion q die quadratische Näherung von f an der Stelle a . Der Graph von f wird in einer Umgebung von a durch den Graphen dieser quadratischen Funktion (dieser ist eine Parabel) noch besser angenähert als durch die Tangente in a. 363 a. Berechne die Ableitung und alle höheren Ableitungen der Polynomfunktion g mit g(x) = x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 4x + 5. b. Begründe: Wenn der Grad einer Polynomfunktion f kleiner als n ist, dann ist die nte Ableitung von f die Nullfunktion. a. g’ mit g’(x) = 4x 3 – 6x 2 + 6x – 4 g’’ mit g’’(x) = (4x 3 – 6x 2 + 6x – 4)’ = 12x 2 – 12x + 6 g (3) mit g (3) (x) = (12x 2 – 12x + 6)’ = 24x – 12 g (4) mit g (4) (x) = (24x – 12)’ = 24 Für n > 4 ist g (n) (x) = 0. b. Der Grad der Ableitung einer Polynomfunktion f mit positivem Grad ist um 1 niedriger als der Grad von f. Ist der Grad m > 0, dann hat die m-te Ableitung von f den Grad m – m = 0, ist also eine konstante Funktion. Deren Ableitung und höheren Ableitungen sind alle 0. 364 Bestimme die Ableitung und alle höheren Ableitungen der Polynomfunktion f, die ungleich 0 sind. a. f(x) = x 2 – 3x + 4 c. f(x) = 2x 3 – 5x 2 + 8x – 1 e. f(x) = x 4 – 5x 2 + 3 b. f(x) =   1 _ 2 x 2 – 7x + 5 d. f(x) = ‒ x 3 + 2x 2 – 7x + 5 f. f(x) = 2x 4 – 3x 3 + 2x 2 – x + 1 365 Berechne die erste und die zweiten Ableitung der Polynomfunktion f an der Stelle a. a. f(x) = 5x – 1; a = 12 c. f(x) = x 3 + 2x 2 – 2x – 1; a = 1 e. f(x) = x 4 – 4x 2 + 1; a = ‒2 b. f(x) = ‒ x 2 + 2x – 3; a = ‒1 d. f(x) =   1 _ 2 x 3 – 2x 2 – x + 1; a = ‒2 f. f(x) =   1 _ 2 x 4 + x 3 + 2x 2 + 2; a = 2 366 Gib die ersten zwei Ableitungen der rationalen Funktion r an. a. r(x) =   1 _ x b. r(x) = ‒   1 _  x 2 c. r(x) =   1 _  2x + 3 d. r(x) =   1 _  1 – x 2 e. r(x) =   x _  x + 4 f. r(x) =   2x _  x 2 + 1 367 Ermittle die ersten zwei Ableitungen der Funktion. a. a mit a(t) = sin(2t) c. c mit c(t) = sin 2 (t) e. g mit g(t) = tan(t) b. b mit b(t) = ‒ cos(3t) d. d mit d(t) = t·cos(t) f. f mit f(t) = sin(t)·cos(t) 368 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Funktion. a. a mit a(z) = e z c. c mit c(z) = e 2z e. g mit g(z) = ln(z) b. b mit b(z) = 3 z d. d mit d(z) = z·e z f. f mit f(z) = z·ln(z) 369 Zeichne die Graphen der Funktion, der ersten und der zweiten Ableitung in ein Diagramm. a. a mit a(y) = y 2 c. c mit c(y) = sin(y) e. g mit g(y) = e   y _ 2 b. b mit b(y) = ‒ y 2 + 2 d. d mit d(y) = cos(y) f. f mit f(y) = ln(y) ggb 4f7i77 quadratische Näherung x y a f B, D die höheren Ableitungen einer Poly- nomfunktion berechnen ggb/mcd/tns w996uy B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv