Mathematik HTL 3, Schulbuch

88 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Ich lerne die zweite Ableitung von zweimal differenzierbaren Funktionen kennen und damit diese Funktionen lokal durch quadratische Funktionen anzunähern. Ich lerne mithilfe der zweiten Ableitung einer Funktion f zu entscheiden, ob Nullstellen der Ableitung von f Minimalstellen oder Maximalstellen von f sind. Ich lerne mithilfe der zweiten Ableitung zu überprüfen, ob eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall konkav oder konvex ist, und ich lerne ihre Wendestellen zu berechnen. Ich lerne Probleme aus Alltag und Technik mithilfe der Differentialrechnung zu lösen. Höhere Ableitungen und quadratische Näherung Im Abschnitt 2.1 haben wir gesehen, dass wir für jede reelle Zahl a den Funktionswert einer Polynomfunktion f an der Stelle x in der Form f(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + u(x)·(x – a) 2 anschreiben können, dabei ist u eine geeignete Polynomfunktion. Schreiben wir auch u(x) in dieser Form an, dann ist u(x) = u(a) + u’(a)·(x – a) + v(x)·(x – a) 2 mit einer geeigneten Polynomfunktion v. Daher ist für alle Zahlen x und a f(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + (u(a) + u’(a)·(x – a) + v(x)·(x – a) 2 )·(x – a) 2 = = f(a) + f’(a)·(x – a) + u(a)·(x – a) 2 + w(x)·(x – a) 3 , 0dabei ist w die Polynomfunktion mit w(x) = u’(a) + v(x)·(x – a). Anstatt f durch die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) anzunähern, können wir das noch besser, aber mit mehr Aufwand, durch die quadratische Funktion q mit q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + u(a)·(x – a) 2 tun. Kann man u(a) auch direkt berechnen? Wir berechnen dazu zuerst die Ableitung f’ von f (und verwenden dabei die Summen- und die Produktregel): f’(x) = 0 + f’(a)·1 + u(a)·2(x – a) + 3(x – a) 2 ·w(x) + (x – a) 3 ·w’(x) Diese Polynomfunktion f’ differenzieren wir wieder an der Stelle x: (f’)’(x) = 0 + 2u(a)·1 + 6(x – a)·w(x) + 3(x – a) 2 ·w’(x) + 3(x – a) 2 ·w’(x) + (x – a) 3 ·(w’)’(x) = 2u(a) + 6(x – a)·w(x) + 6(x – a) 2 ·w’(x) + (x – a) 3 ·(w’)’(x). Es ist (f’)’(a) = 2u(a) + 0. Daher ist u(a) = ​  1 _ 2 ​·(f’)’(a) und für alle Zahlen x ist f(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + ​  1 _ 2 ​·(f’)’(a)·(x – a) 2 + (x – a) 3 ·(w’)’(x). Ein ähnliches Ergebnis gilt für alle differenzierbaren Funktionen, deren Ableitung wieder differenzierbar ist: Wenn die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar ist, dann nennen wir die Ableitung (f’)’ der Ableitung von f die zweite Ableitung von f und schreiben dafür einfach f’’. Ist die zweite Ableitung auch differenzierbar, dann nennen wir deren Ableitung die dritte Ableitung von f und schreiben dafür f’’’. Ist auch die (n – 1)te Ableitung von f differenzierbar, dann sagen wir, dass f n-mal differenzier- bar ist. Wir schreiben f  (n) für die n-te Ableitung von f . Die n-ten Ableitungen von f mit n > 1 nennen wir auch höhere Ableitungen . zweite Ableitung n-te Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv