Mathematik HTL 3, Schulbuch

87 2.3 Erste Anwendungen 355 Die Erdanziehungskraft und somit die Fallbeschleunigung g nimmt mit dem Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt ab. Da der Erdradius 6378 km und die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche g = 9,81m/s 2 beträgt, ist der Betrag der Fallbeschleunigung in einer Höhe von h Kilometern gleich g(h) = ​  6378 2 __  (6378 + h) 2 ​·9,81. a. Berechne die lineare Näherung der Funktion g an der Stelle 0 und lies daraus ab, um wie viel m/s 2 die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche pro km Höhe abnimmt. b. Am 14.10.2012 sprang Felix Baumgartner in 39 km Höhe von einem Heliumballon ab. Berechne die Fallbeschleunigung in dieser Höhe  I. mit der oben angeführten Formel  II. näherungsweise mithilfe des Ergebnisses von Aufgabe a. c. Recherchiere im Internet die Angaben des Projekts „Stratos“ zum Thema Fallbeschleunigung und vergleiche die Angaben mit den Berechnungen aus Aufgabe a. und b. 356 Die internationale Raumstation ISS befindet sich auf einer Umlaufbahn in einer mittleren Höhe von 380 km über der Erdoberfläche. a. Berechne mit einem Taschenrechner wie in Aufgabe 355, wie groß die Fallbeschleunigung in dieser Höhe ist. b. Bestimme, um wie viel m/s 2 die Fallbeschleunigung auf dem Weg von der Erdoberfläche bis zur Raumstation durchschnittlich pro km Höhe abnimmt. c. Ein RaketenIngenieur möchte zur Vereinfachung seiner Berechnungen die in Aufgabe 355 gegebene Funktion g durch ihre lineare Näherung an der Stelle 0 ersetzen. Berechne, in wel­ cher Höhe h auf dem Weg von der Erde zur Raumstation die Abweichung der tatsächlichen Fallbeschleunigung g(h) vom Näherungswert g lin  (h) am größten ist. Ermittle, wie groß der absolute und wie groß der relative Fehler ist. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann entscheiden, ob eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall streng monoton wachsend, streng monoton fallend oder keines von beiden ist. 357 Berechne, auf welchen offenen Intervallen die Polynomfunktion f mit f(x) = 0,125x 3 + 0,375x 2 – 5,625x – 3 streng monoton wachsend und auf welchen offenen Intervallen sie streng monoton fallend ist. 358 Aus dem Vorjahr wissen wir, dass logistisches Wachstum durch die Funktion f mit f(t) = ​  K _  1 + c·a t ​ beschrieben werden kann, wobei K, a und c positive reelle Zahlen sind. Berechne, welche Voraussetzungen die Zahl a erfüllen muss, damit f auf ganz R streng monoton wachsend ist. 359 Begründe mithilfe der Differentialrechnung, warum die Funktion f mit f(t) = e ‒2t auf ganz R streng monoton fallend ist. Ich kann lokale Extremstellen einer differenzierbaren Funktion finden. 360 Berechne alle lokalen Extremstellen der Funktion f mit f(z) = z 2 ·e z . 361 Ermittle alle lokalen Extremstellen der Funktion f von R + nach R mit f(t) = ​  ln(t) _ t  ​und gib an, ob sie Minimumstellen oder Maximumstellen sind. Ich kann differenzierbare Funktionen näherungsweise auswerten. 362 Berechne näherungsweise und ohne Taschenrechner. Begründe deine Vorgangsweise. a. ​ 9 __ 65​ b. ​ 9 __ 63​ B, C B B B, C D B B, C A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv