Mathematik HTL 3, Schulbuch

86 Differentialrechnung 350 a. Berechne die lineare Näherung der Logarithmusfunktion zur Basis 10 an der Stelle 100. Berechne damit für kleine Zahlen t näherungsweise den Funktionswert lg(100 + t). b. Ermittle mit Aufgabe a. näherungsweise lg(95), lg(96), … , lg(104), lg(105) und vergleiche mit dem Ergebnis eines Taschenrechners. Runde jeweils auf 4 Nachkommastellen. a. Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = lg(x) ist die rationale Funktion f’ mit f’(x) = ​  1 __  x·ln(10) ​ . Die lineare Näherung von f an der Stelle 100 ist daher die lineare Funktion h mit h(x) = lg(100) + lg’(100)·(x – 100) = 2 + ​  1 __  100·ln(10) ​·(x – 100). Somit ist lg(100 + t) ≈ h(100 + t) = 2 + ​  1 __  100·ln(10) ​·(100 + t – 100) = 2 + ​  1 __  100·ln(10) ​t. Wegen ​  1 __  100·ln(10)  ​≈ 0,0043, erhalten wir schließlich lg(100 + t) ≈ 2 + 0,0043t. b. Wir erstellen eine Tabelle: t lg(100 + t) 2 + 0,0043t lg(100 + t) – (2 + 0,0043t) ‒ 5 1,9777 1,9785 ‒ 0,0008 ‒ 4 1,9823 1,9828 ‒ 0,0005 ‒ 3 1,9868 1,9871 ‒ 0,0003 ‒ 2 1,9912 1,9914 ‒ 0,0002 ‒1 1,9956 1,9957 ‒ 0,0001 0 2 2 0,0000 1 2,0043 2,0043 0,0000 2 2,0086 2,0086 0,0000 3 2,0128 2,0129 ‒ 0,0001 4 2,0170 2,0172 ‒ 0,0002 5 2,0212 2,0215 ‒ 0,0003 351 Berechne die lineare Näherung der Logarithmusfunktion zur Basis 10 an der Stelle 1 000. Verwende sie, um für kleine Zahlen t den Funktionswert lg(1 000 + t) näherungsweise zu berechnen. Berechne damit lg(1 024) und vergleiche mit dem Ergebnis eines Taschenrechners. Runde auf 6 Nachkommastellen. 352 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln(x). Berechne die lineare Näherung dieser Funktion an der Stelle 1. Verwende sie, um für kleine Zahlen t den Funktionswert f(1 + t) näherungsweise zu berechnen. Berechne damit näherungsweise f(1,05) und vergleiche mit dem Ergebnis eines Taschenrechners. Runde auf 4 Nachkommastellen. 353 Das beschränkte Wachstum einer Population kann durch die Funktion N mit N(t) = 200(1 – 0,95  t ) beschrieben werden. a. Berechne die lineare Näherung von N an der Stelle 20. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen. b. Bestimme mithilfe von Aufgabe a. eine Zahl t mit N(t) ≈ 135. c. Mach die Probe, indem du für die in Aufgabe b. berechnete Zahl t mit einem Taschenrechner N(t) = 200(1 – 0,95  t ) berechnest. 354 Ein Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand R mit zunehmender Temperatur T in K abnimmt. Dieses Verhalten kann durch die Funktion R mit R(T) = 0,1·​e​ ​  2200 _ T  ​ ​beschrieben werden. a. Zeichne den Graphen der Funktion. b. Finde für eine Arbeitstemperatur von 350K die lineare Näherung von R. c. Der Temperaturkoeffizient bei der Temperatur T ist α (T) = ​  R’(T) _ R(T) ​ . Berechne den Temperatur­ koeffizienten für eine Arbeitstemperatur von 370K. B den Logarithmus näherungs- weise berechnen  mcd k2x8re B, C B, C B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv