Mathematik HTL 3, Schulbuch

85 2.3 Erste Anwendungen 345 Eine Gleichstromquelle mit einer Quellenspannung U 0 = 12V hat einen inneren Widerstand R i von 800 Ω . Die Leistung P, die an einen Verbraucher mit einem Widerstand R abgegeben wird, kann mit der Funktion P mit P(R) =   U 0 2 ·R __  (R + R i ) 2 beschrieben werden. a. Zeichne den Graphen der Funktion P. b. Bestimme die maximale Leistung P max . Differenzierbare Funktionen näherungsweise auswerten 346 a. Berechne für eine positive reelle Zahl c und eine (im Vergleich zu c) kleine positive Zahl b näherungsweise die Wurzel aus c 2 + b und die Wurzel aus c 2 – b. b. Berechne mithilfe der Überlegungen aus Aufgabe a. näherungsweise 9 __ 27und 9 __ 96. Kontrolliere das Ergebnis durch Quadrieren. a. Wir verwenden für die näherungsweise Berechnung die lineare Näherung der Wurzelfunktion f an der Stelle c 2 . Dann ist f(c 2 ) = c, f’(c 2 ) =   1 _  2 9 __ c 2 =   1 _  2c , 9 ___ c 2 + b= f(c 2 + b) ≈ f(c 2 ) + f’(c 2 )·((c 2 + b) – c 2 ) = c +   b _  2c und 9 ___ c 2 – b= f(c 2 – b) ≈ f(c 2 ) + f’(c 2 )·((c 2 – b) – c 2 ) = c –   b _  2c . Wir hätten uns das auch so überlegen können: Es ist c 2 + b = c + 2    b _  2c   3 2 – 2    b _  2c   3 2 . Weil b im Vergleich zu c klein ist, ist 2    b _  2c   3 2 sehr klein und c 2 + b ≈ 2  c +   b _  2c   3 2 . Die Zahl c +   b _  2c ist also eine gute Näherung der Wurzel aus c 2 + b. Auf gleiche Weise erhalten wir c –   b _  2c als Näherung der Wurzel aus c 2 – b. b. Wir schreiben 27 als 27 = 5 2 + 2. Nach Aufgabe a. ist 9 __ 27= 9 ___ 5 2 + 2≈ 5 +   2 _  2·5 = 5,2. Kontrolle: 5,2 2 = 27,04 ≈ 27 Es ist 9 __ 96= 9 ____ 10 2 – 4≈ 10 ‒   4 _  2·10 = 9,8. Kontrolle: 9,8 2 = 96,04 ≈ 96 347 Berechne näherungsweise und möglichst ohne Taschenrechner. a. 9 __ 17 b. 9 __ 50 c. 9 __ 68 d. 9 __ 141 348 a. Überlege, wie man näherungsweise die Kubikwurzel einer Zahl berechnen kann. b. Berechne näherungsweise 3 9 __ 30und 3 9 __ 67und kontrolliere das Ergebnis durch Berechnen der dritten Potenz. 349 Betrachte die Funktion f mit f(t) = e t . a. Berechne die lineare Näherung der Funktion f an der Stelle 0. b. Ermittle für das Intervall [‒ 0,05; 0,05] die Werte der Funktion und der Näherung. Analysiere die Unterschiede. c. Zeichne den Graphen der Funktion und der linearen Näherung in ein Diagramm. B B mcd/tns p8bq8u näherungs weise wurzelziehen A, B A, B B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv