Mathematik HTL 3, Schulbuch

84 Differentialrechnung 336 Ermittle die lokalen Extremstellen der rationalen Funktion r und erstelle eine Skizze ihres Graphen. Bestimme zuerst den Definitionsbereich der Funktion. a. r(x) = x +   1 _ x b. r(x) = x +   1 _  x 2 c. r(x) =   x _  1 – x d. r(x) =   x _  1 + x 2 e. r(x) =   1 _  1 – x 2 f. r(x) =   1 _  1 + x 2 337 Zeichne den Graphen der Funktion f: R ¥ R , x ¦ 15·x 2 ·e ‒5·x 3 mithilfe eines CAS und bestimme dann die Extremstellen der Funktion. 338 Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ 2·e ‒  1 _ 4 t ·sin(3t) beschrieben. a. Zeichne mithilfe eines CAS den Graphen der Funktion. b. Bestimme für das Intervall [0; 2 π ] alle lokalen Minima und Maxima mithilfe des CAS. 339 Berechne für reelle Zahlen a und b alle Extremstellen der Funktion f mit f(x) =   a __  (x – b) 2 + 1 . Zeichne anschließend den Graphen von f für a = 3 und b = 2. Wir berechnen die erste Ableitung an der Stelle x mit der Quotientenregel: f’(x) =   0·((x – b) 2 + 1) – a·(2(x – b)·(1)) _____   ((x – b) 2 + 1) 2 =   ‒2a(x – b) __  ((x – b) 2 + 1) 2 Wenn x eine lokale Extremstelle ist, muss f’(x) = 0 sein. Daher muss ‒ 2a(x – b) = 0 sein und somit kann nur b eine lokale Extremstelle sein. Für x < b ist f’(x) > 0, für x > b ist f’(x) < 0. Daher ist b eine Maximumstelle von f. Der entsprechende Extremwert ist f(b) =   a __  (b – b) 2 + 1 =   a _ 1 = a. 340 Ermittle mithilfe eines CAS die Extremstellen der „logarithmischen Normalverteilung” f: R ¥ R , x ¦   1 _  σ 9 __ 2 π  ·  1 _ x ·e ‒  1 _ 2 · 2    ln(x)‒ μ __ σ    3 2 zunächst allgemein für beliebige μ und σ , und dann im Speziellen für μ = 0 und σ = 1. Zeichne für die gewählten Parameter μ und σ auch den Graphen der Funktion. 341 Eine biegsame nicht belastete Kette, die zwischen zwei Punkten befestigt frei durchhängt, kann durch die „Kettenlinie” beschrieben werden. a. Bestimme für die allgemeine Kettenlinie f: R ¥ R , x ¦   k _ 2 · 2  e   x _ k + e ‒  x _ k   3 die Extremstellen. b. Zeichne den Graphen der Kettenlinie für k = 2. c. Interpretiere, welche Bedeutung k für die Kettenlinie hat. 342 Beim Football wirft der Quarterback aus einer Höhe von 1,7m den Ball unter einem Winkel von 45° ab. Der Ball wird in 27m Entfernung vom Fänger in einer Höhe von 2m gefangen. a. Beschreibe die Flugbahn des Balls als Graph einer quadratischen Funktion. b. Berechne die Koeffizienten dieser quadratischen Funktion und ihre Scheitelform. c. In welcher Entfernung vom Quarterback ist der Ball am höchsten in der Luft? 343 Die Flugbahn eines Fußballs kann, so der Luftwiderstand berücksichtigt wird, mithilfe einer Poly nomfunktion mit Grad 3 beschrieben werden. Ein Torwart hat beim Abstoß den optimalen Winkel von 45° getroffen und kann so den Ball 45m weit schießen. Dabei erreicht der Ball nach 27m die größte Höhe. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. 344 Die Scheinleistung eines Wechselstromkreises ist durch die Funktion PS mit PS(t) = u(t)·i(t) fest gelegt. Dabei sind die Funktionen u und i mit u(t) = U 0 ·sin(wt) und i(t) = I 0 ·sin(wt – φ ) gegeben. a. Ermittle die Extremstellen der Funktion PS. b. Gib die maximale Scheinleistung an. B B B B lokale Extrem stellen einer Funktion berechnen ggb 49q7r9 x y 0 -1 1 2 3 4 5 1 2 3 H f B B, C A, B ggb rd32g9 A, B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv