Mathematik HTL 3, Schulbuch

83 2.3 Erste Anwendungen Wenn a ein Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f ist, dann muss sie auch eine Extrem stelle von deren linearer Näherung f(a) + f’(a)(x – a) sein, somit muss f’(a) = 0 sein. Achtung Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht immer: Für f mit f(x) = x 3 und a = 0 ist f’(a) = 0, aber 0 ist keine Extremstelle von f. Wenn f eine differenzierbare Funktion ist und es reelle Zahlen a, b, c mit b < a < c gibt, sodass f auf dem Intervall (b; a) streng monoton wachsend und auf dem Intervall (a; c) streng monoton fallend ist, dann ist a eine lokale Maximumstelle und f’(a) = 0. f auf dem Intervall (b; a) streng monoton fallend und auf dem Intervall (a; c) streng monoton wachsend ist, dann ist a eine lokale Minimumstelle und f’(a) = 0. 333 Berechne alle lokalen Extremstellen der Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – x 2 –   1 _ 3 x – 2. Skizziere dann den Graphen von f. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) = 3x 2 – 2x –   1 _ 3 . Durch quadratisches Ergänzen erhalten wir f’(x) = 3 2  x –   1 _ 3   3 2 –   2 _ 3 . Daher sind n 1 =   1 _ 3 –   1 _ 3 · 9 _ 2und n 2 =   1 _ 3 +   1 _ 3 · 9 _ 2 die Nullstellen von f’. Die Funktionswerte von f’ auf den Halbgeraden (‒ • ; n 1 ) und (n 2 ; • ) sind alle positiv, also ist die Funktion f auf diesen Halbgeraden streng monoton wachsend. Im Intervall (n 1 ; n 2 ) sind alle Funktionswerte von f’ negativ, also ist die Funktion f auf diesem Intervall streng monoton fallend. Daher muss n 1 eine lokale Maximumstelle und n 2 eine lokale Minimumstelle von f sein. Wir berechnen f(n 1 ) ≈ ‒1,98 und f(n 2 ) ≈ ‒ 2,39 und erhalten die Skizze des Graphen. 334 Berechne alle lokalen Extremstellen der Polynomfunktion p und skizziere ihren Graphen. a. p(x) = x 2 – 6x + 4 c. p(x) = x 3 + 2x 2 + x e. p(x) =   1 _ 2 x 3 –   3 _ 2 x 2 – 3x + 4 b. p(x) = ‒   1 _ 2 x 2 + 3x – 5 d. p(x) = x 3 – 3x 2 + 2x – 4 f. p(x) = ‒ x 3 +   5 _ 2 x 2 + 14x –   15 _ 2  335 Bestimme die lokalen Extremstellen der Funktion und zeichne ihren Graphen. a. f mit f(z) = z·e z c. f mit f(z) = z·e ‒z e. f mit f(z) = e z ·sin(z) b. f mit f(z) = z 2 ·e 2z d. f mit f(z) = z 2 ·e   z _ 2 f. f mit f(z) = e z ·cos(z) eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle eine hinreichende Bedingung für eine Extremstelle x y a b c f x y a b c f B lokale Extremstellen berechnen ggb/mcd/tns nu8z9c x y 0 - 2 -1 2 1 - 2 - 3 - 4 - 5 -1 1 B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv