Mathematik HTL 3, Schulbuch

82 Differentialrechnung Eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R hat in einem Element a ihres Definitions bereichs ein lokales Maximum , wenn alle Funktionswerte von Zahlen in einer kleinen (in ihrem Definitionsbereich enthaltenen) Umgebung von a kleiner oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann lokale Maximumstelle von f. Die Funktion f hat in a ein lokales Minimum , wenn alle Funktionswerte von Zahlen in einer klei nen Umgebung von a größer oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann lokale Minimumstelle von f. Anstatt „ein lokales Maximum oder lokales Minimum in a” sagen wir auch kurz „ein lokales Extremum in a”, nennen a eine lokale Extremstelle von f und f(a) einen lokalen Extremwert von f. Die Funktion f hat in a ein globales Maximum , wenn alle ihre Funktionswerte kleiner oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann globale Maximumstelle von f. Die Funktion f hat ein globales Minimum in a, wenn alle ihre Funktionswerte größer oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann globale Minimumstelle von f. Anstatt „ein globales Maximum oder globales Minimum in a” sagen wir auch kurz „ein globales Extremum in a”, nennen a eine globale Extremstelle von f und f(a) einen globalen Extremwert von f. Achtung Aus der Definition folgt, dass jede globale Extremstelle auch eine lokale Extremstelle ist. Die Umkehrung gilt aber nicht. Beispiele: Für eine konstante Funktion ist jede Zahl ihres Definitionsbereichs sowohl eine globale Maximumstelle als auch eine globale Minimumstelle. Eine lineare Funktion von R nach R , die nicht konstant ist, hat an keiner Stelle ein lokales Maximum oder Minimum. Wenn man eine solche lineare Funktion aber auf ein abge schlossenes Intervall [a; b] einschränkt, sind a und b globale Extremstellen. Eine quadratische Funktion von R nach R hat genau eine lokale Extremstelle, diese ist daher auch eine globale Extremstelle. Denn: Wir wissen bereits, dass wir eine quadratische Funktion f immer in Scheitelform f(x) = c·(x – s) 2 + t anschreiben können. Dabei ist c der Leitkoeffizient der quadratischen Funktion und (s 1 t) der Scheitel des Graphen dieser Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel, die den Punkt (s 1 t) enthält. Wenn c positiv ist, dann ist t, der Funktionswert an der Stelle s, der kleinste Funktionswert der quadratischen Funktion. Wenn c negativ ist, dann ist t ihr größter Funktionswert. Also ist s die einzige Extremstelle der quadratischen Funktion und t der entsprechende Extremwert. Die Zahlen   π _ 2 + 2n π , wobei n eine beliebige ganze Zahl ist, sind globale Maximumstellen der Sinusfunktion. Die Zahlen ‒   π _ 2 + 2n π , wobei n eine beliebige ganze Zahl ist, sind globale Minimumstellen der Sinusfunktion. lokales Extremum, lokale Extremstelle, lokaler Extremwert globales Extremum, globale Extrem- stelle, globaler Extremwert x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 1 -1 -1 1 0 x y π - π 2 π - 2 π 2 - 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv