Mathematik HTL 3, Schulbuch

81 2.3 Erste Anwendungen 327 Ermittle, auf welchen Intervallen die Polynomfunktion f von R nach R streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Fertige eine Skizze an. a. f(x) = x 2 – 2x + 3 c. f(x) = x 3 – 2x 2 – 5x + 6 e. f(x) = ‒ x 3 + 6x 2 + x – 30 b. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 – x + 2 d. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – ​  5 _ 2 ​x 2 + x + 4 f. f(x) = ‒ ​  1 _ 4 ​x 3 – ​  11 _  4 ​x 2 – 5x + 8 328 Bestimme, auf welchen Intervallen die Funktion von R nach R streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Fertige eine Skizze an. a. f mit f(t) = 2e t c. f mit f(u) = u·​e​ ​  u _ 2 ​ ​ e. f mit f(z) = e z + z b. f mit f(z) = ​  1 _ 2 ​e ‒z d. f mit f(t) = t 2 ·e t f. f mit f(u) = u·e u + u 329 Aus dem Vorjahr wissen wir, dass durch die Funktion f mit f(t) = K·(1 – c·a t ) beschränktes Wachstum beschrieben wird, wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind. Gib an, welche Voraussetzungen a erfüllen muss, damit f auf ganz R streng monoton wachsend ist. 330 Begründe mithilfe der Differentialrechnung, warum die Funktion f: R ¥ R , t ¦ t·e 3t streng monoton wachsend auf R + ist. 331 Der Graph der Funktion f: R ¥ R , t ¦ ​  1 _  ​ 9 __  2 π​ ​ e​ ‒​  1 _ 2 ​t 2 ​heißt Gaußsche Glockenkurve. a. Berechne die Ableitung von f. b. Bestimme, wo die Funktion streng monoton wachsend und wo sie streng monoton fallend ist. c. Untersuche, ob es einen Funktionswert von f gibt, der größer als alle anderen Funktionswerte von f ist. Wenn ja, an welcher Stelle? d. Untersuche, ob es einen Funktionswert von f gibt, der kleiner als alle anderen Funktionswerte von f ist. Wenn ja, an welcher Stelle? e. Skizziere den Graphen von f. Warum heißt er Glockenkurve? 332 Die Ableitung f’ einer differenzierbaren Funktion hat nur negative Funktionswerte. Beurteile, welche der Aussagen wahr sind. A  f hat nur negative Funktionswerte. B  Die Steigung der Tangente von f an jeder Stelle ist immer negativ. C  Der Differenzenquotient in beliebigen Intervallen ist nicht immer negativ. D  Die Funktion ist streng monoton fallend. Lokale Extremstellen Was bedeutet es, wenn die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle a gleich 0, also f’(a) = 0 ist? Betrachten wir dazu die konstante Funktion k mit k(x) = 1, die quadratischen Funktionen f mit f(x) = x 2 und g mit g(x) = ‒ x 2 und die Potenzfunktion h mit h(x) = x 3 : k’(a) = 0 für alle reellen Zahlen a und die Funktion k ist konstant. f’(a) = 2a ist genau dann 0, wenn a = 0 ist. Der Funktionswert an der Stelle 0 ist der kleinste aller Funktionswerte von f. g’(a) = ‒ 2a ist genau dann 0, wenn a = 0 ist. Der Funktionswert an der Stelle 0 ist der größte aller Funktionswerte von g. h’(a) = 3a 2 ist genau dann 0, wenn a = 0 ist. Weil 3a 2 für a ≠ 0 immer positiv ist, ist die Funktion auf den Halbgeraden (‒ • ; 0) und (0; • ) streng monoton wachsend, es gibt also in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 sowohl Funktionswerte von h, die kleiner als 0 sind, als auch solche, die größer als 0 sind. B B B, C D B, C D x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 - 3 - 4 -1 1 2 3 4  ggb 3p284q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv