Mathematik HTL 3, Schulbuch

80 Differentialrechnung 324 Skizziere den Graphen der Funktion g mit g(z) = z·e z . Berechne (näherungsweise) die Tangenten an diesen Graphen an den Stellen ‒2, ‒1, 0, 1 und 2 und verbessere damit die Skizze. Wir berechnen mit der Produktregel die Ableitung der differenzierbaren Funktion g: g’(z) = e z + z·e z = (1 + z)·e z . Weil e z immer positiv ist, ist g’(z) genau dann positiv, wenn 1 + z > 0, also z > ‒1 ist. Die Funktion g ist daher auf der Halbgeraden (‒ • ; ‒1) streng monoton fallend und auf der Halbgeraden (‒1; • ) streng monoton wachsend. Ihr Funktionswert in ‒1 ist ‒ e ‒1 . Weil e z immer positiv ist, ist 0 die einzige Nullstelle von g. Auf der Halbgeraden (‒ • ; 0) hat die Funktion nur negative, auf der Halbgeraden (0; • ) nur positive Funktionswerte. Das ergibt die erste Skizze. Die Tangente an der Stelle z hat die Steigung g’(z) und geht durch den Punkt (z 1 z·e z ). Ihre Parameterform ist daher {(z 1 z·e z ) + t·(1 1 (1 + z)·e z ) ‡ t * R }, zum Beispiel {t·(1 1 1) ‡ t * R } für z = 0, {(1 1 e) + t·(1 1 2e) ‡ t * R } für z = 1 und {(‒1 1 ‒ e ‒1 ) + t·(1 1 0) ‡ t * R } für z = ‒1. 325 Markiere im Graphen die Bereiche, auf denen die Funktion streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Überlege, welches Vorzeichen die Ableitungen an Stellen aus diesen Bereichen haben müssen, und notiere dies ebenso im Graphen. a. c. e. b. d. f. 326 Zeichne den Graphen einer Funktion, die auf R – streng monoton wachsend ist und deren Ableitung für alle Stellen a * R + negativ ist. B den Graphen einer differenzierbaren Funktion skizzieren z y 0 - 4 - 2 2 2 4 z y 0 - 4 - 2 2 2 4 C x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 A x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv