Mathematik HTL 3, Schulbuch

8 1.1 Grenzwerte von Folgen Ich lerne den Begriff des Grenzwertes einer Folge kennen und Beispiele für konvergente und divergente Folgen anzugeben. Ich lerne mein Wissen über das Rechnen mit Folgen zu nützen, um Grenzwerte von gewissen Folgen zu berechnen. Wiederholung Im Vorjahr (Mathematik HTL 2, Kapitel 4) haben wir Folgen kennengelernt. Erinnern wir uns: Eine Folge in R oder eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion von N nach R . Der Funktionswert f(n) an der Stelle n heißt dann das n-te Folgenglied oder das Folgenglied mit Index n . Anstatt f(n) schreiben wir für das nte Folgenglied oft f n . Für die Folge f: N ¥ R , n ¦ f n schreiben wir kurz k f n l oder k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , … l . Statt f und n können wir auch beliebige andere Zeichen verwenden und eine Folge zum Beispiel mit k a i l oder mit k u k l bezeichnen. Für je zwei reelle Zahlen a ≠ 0 und q ≠ 0 erhalten wir die Folge k a, a·q 1 , a·q 2 , a·q 3 , …, a·q n , … l = k a·q n l . Wir nennen sie die geometrische Folge mit Anfangsglied a und Quotient q . Beispiele: k (‒ 2) n l = k 1, (‒ 2) 1 , (‒ 2) 2 , (‒ 2) 3 , …, (‒ 2) n , … l = k 1, ‒ 2, 4, ‒ 8, 16, ‒ 32, 64, …, (‒ 2) n , … l k  2 ‒   1 _ 2   3 n   l = k  1, 2 ‒   1 _ 2   3 1 , 2 ‒   1 _ 2   3 2 , 2 ‒   1 _ 2   3 3 , …, 2 ‒   1 _ 2   3 n , … l = k  1, ‒   1 _ 2 ,   1 _ 4 , ‒   1 _ 8 ,   1 _  16 , ‒   1 _  32 ,   1 _  64 , …, 2 ‒   1 _ 2   3 n , …  l k 2 n l = k 1, 2 1 , 2 2 , 2 3 , …, 2 n , … l = k 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 2 n , … l k  2    1 _ 2   3 n   l = k  1, 2    1 _ 2   3 1 , 2    1 _ 2   3 2 , 2    1 _ 2   3 3 , …, 2    1 _ 2   3 n , … l = k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 4 ,   1 _ 8 ,   1 _  16  ,   1 _  32 ,   1 _  64 , …,   1 _  2 n , …  l k (‒ 2) n l k 2 n l k  2 ‒   1 _ 2   3 n   l k  2    1 _ 2   3 n   l Folge von re- ellen Zahlen geometrische Folge ggb t6a5d6 n a n 0 10 -10 - 20 - 30 20 3 4 5 6 2 1 n a n 0 8 16 24 32 3 4 5 6 2 1 n a n 0 0,5 - 0,5 1 3 4 5 6 2 1 n a n 0 0,5 - 0,5 1 3 4 5 6 2 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv