Mathematik HTL 3, Schulbuch

79 2.3 Erste Anwendungen Tipp Wenn f’(a) sehr groß ist, dann ist die Funktion f in einer Umgebung von a „stark wachsend” und ihr Graph „geht steil bergauf”. Wenn f’(a) positiv und sehr klein ist, dann ist f in einer Umgebung nur langsam wachsend und ihr Graph ist nur „leicht ansteigend”. Wenn f’(a) negativ ist und einen großen Absolutbetrag hat, dann ist die Funktion f in einer Umgebung von a „stark fallend” und ihr Graph „geht steil bergab”. Wenn f’(a) negativ ist und einen kleinen Absolutbetrag hat, dann ist f in einer Umgebung von a nur langsam fallend und ihr Graph ist nur „leicht fallend”. 323 Bestimme, auf welchen offenen Intervallen oder Halbgeraden die Polynomfunktion f mit f(x) =   1 _ 3 x 3 –   1 _ 2 x 2 – 2x + 1 streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Kann man etwas über die Nullstellen dieser Funktion sagen? Skizziere den Graphen dieser Funktion. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) = 2    1 _ 3 x 3 –   1 _ 2 x 2 – 2x + 1  3 ’ = x 2 – x – 2. Die quadratische Funktion f’ hat zwei Nullstellen, nämlich ‒1 und 2. Also ist f’(x) = (x + 1)(x – 2). Der Funktionswert f’(a) = (a + 1)(a – 2) ist genau dann positiv, wenn die Zahlen a + 1 und a – 2 das gleiche Vorzeichen haben, also wenn a > ‒1 und a > 2 ist oder wenn a < ‒1 und a < 2 ist. Somit ist f’(a) > 0 genau dann, wenn a > 2 oder wenn a < ‒1 ist. Wenn a = 2 oder a = ‒1 ist, ist f’(a) = 0, und wenn ‒1 < a < 2 ist, dann ist f’(a) < 0. Daher ist die Polynomfunktion f auf dem Intervall (‒1; 2) streng monoton fallend und auf den Halbgeraden (‒ • ; ‒1) und (2; • ) streng monoton wachsend. Die Funktionswerte von f an den Stellen ‒3, ‒1, 2 und 4 sind ‒   13 _ 2  ,   13 _ 6  , ‒   7 _ 3 und   19 _ 3  . Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass f in den Intervallen (‒3; ‒1), (‒1; 2) und (2; 4) je eine Nullstelle hat. Wir können uns nun eine gute Skizze des Graphen von f machen. Wir wissen: Der Graph von f kann mit einem Bleistift „in einem Zug gezeichnet werden” (weil Polynomfunktionen stetig sind). In einer kleinen Umgebung jedes Punktes sieht der Graph wie ein Geradenstück aus, er hat also keine „Ecken” (weil Polynomfunktionen differenzierbar sind). Der Graph steigt bis zum Punkt 2  ‒1  1    13 _ 6      3 an, ab dort geht es „bergab” bis zum Punkt 2  2  1  ‒   7 _ 3     3 und von dort weg ohne Ende „bergauf”. ggb 2vu9qr x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 -1 - 2 1 2 3 4 B, C den Graphen einer Polynom funktion skizzieren x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 3 - 5 - 6 -7 - 2 -1 1 2 3 5 6 7 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv