Mathematik HTL 3, Schulbuch

78 2.3 Erste Anwendungen Ich lerne zu entscheiden, ob eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall streng monoton wachsend, streng monoton fallend oder keines von beiden ist. Ich lerne lokale Extremstellen einer differenzierbaren Funktion zu finden. Ich lerne differenzierbare Funktionen näherungsweise auszuwerten. Mit linearen Funktionen können wir gut umgehen, Aufgaben für andere Funktionen sind viel schwieriger zu lösen. Viele Probleme für differenzierbare Funktionen können wir mithilfe der Differentialrechnung aber dadurch lösen, dass wir es zuerst für die lineare Näherung der Funkti­ on lösen und die Lösung dann auf die differenzierbare Funktion übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass sich die Frage nur auf eine kleine Umgebung einer Zahl bzw. eines Punktes bezieht. Monotonie Die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)(x – a) nähert die differenzierbare Funktion f in einer kleinen Umgebung der Stelle a an, also können wir aus den Eigenschaften dieser linearen Funktion auf Eigenschaften der Funktion f schließen. Erinnern wir uns: Eine lineare Funktion mit Änderungsrate (oder Steigung ihres Graphen) k ist in einer Umgebung von a genau dann streng monoton wachsend, wenn k > 0 ist, und genau dann streng monoton fallend, wenn k < 0 ist. Eine lineare Funktion mit Änderungsrate 0 ist eine kons­ tante Funktion. Die Steigung des Graphen der linearen Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)(x – a) ist f’(a), also ist diese lineare Funktion genau dann streng monoton wachsend, wenn f’(a) > 0 ist, und genau dann streng monoton fallend, wenn f’(a) < 0 ist. Das können wir direkt auf differenzierbare Funktionen übertragen: Eine differenzierbare Funktion f ist auf einem offenen Intervall oder einer offenen Halbgerade in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsend , wenn für alle Elemente a dieses Intervalls oder dieser Halbgeraden f’(a) > 0 ist und streng monoton fallend , wenn für alle Elemente a dieses Intervalls oder dieser Halbgeraden f’(a) < 0 ist. x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 k > 0 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 -1 1 2 3 k = 0 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 3 - 2 -1 1 k < 0 streng monoton wachsende oder fallende differenzierbare Funktionen x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv