Mathematik HTL 3, Schulbuch

77 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die Begriffe Differenzenquotient, differenzierbare Funktion und Ableitung einer differenzierbaren Funktion. 314 Gib an, an welchen Stellen des dargestellten Bereichs die Funktion, deren Graph gezeichnet ist, differenzierbar ist. a. b. c. 315 Zeige, dass die Funktion f mit f(t) = |  t –   1 _ 2   | an allen Stellen außer an   1 _ 2 differenzierbar ist. Ich verstehe Differenzenquotienten und Differentialquotienten als Änderungsraten und kann damit Aufgaben lösen und die Lösung interpretieren. 316 Betrachte das nebenstehende WegZeit Diagramm eines LKW. a. Berechne, wie groß die mittlere Geschwindigkeit des LKW in den ersten 2 Stunden seiner Fahrt war. b. Ermittle ein Fahrzeitintervall, in dem die mittlere Geschwindkeit 75 km/h betrug. c. Gib an, wie groß die mittlere Geschwindigkeit im Fahrzeit intervall [3; 4] war. Interpretiere diese Geschwindigkeit. Ich kann Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren. 317 Gib die Ableitung der Funktion f an. a. f(x) = e x b. f(x) = cos(x) c. f(x) = tan(x) d. f(x) = a x e. f(x) = ln(x) Ich kenne Rechenregeln für die Differentialrechnung und kann damit viele weitere Funktionen differenzieren. 318 Berechne die Ableitung der Funktion (dabei sind a und φ reelle Zahlen). a. s mit s(t) = sin(4 π ·t + φ ) b. y mit y(z) = log a (5z 2 – 4z + 1) 319 Ermittle die Ableitung der Funktion f an der Stelle a. a. f(x) =   5x 2 __  x 3 – 3x + 7 ; a = 2 b. f(x) = 5 9 _______ 2x 3 – 4x 2 + x ; a = 1 c. f(x) = (4x 2 – 3x + 9)· 9 ____ 7x + 3; a = 4 Ich kann differenzierbare Funktionen lokal durch lineare Funktionen annähern und Tangenten an ihre Graphen berechnen. 320 Nähere die Sinusfunktion an der gegebenen Stelle durch eine lineare Funktion an. a. 0 b.   π _ 2 c. π d.   3 π _ 2  e. 2 π 321 Nähere die Funktion f mit f(z) = 3 9 _ zan der Stelle 1000 durch eine lineare Funktion an und berechne damit näherungsweise 3 9 ___ 1006 . 322 Berechne eine Gleichung der Tangente der Funktion f: R \{3} ¥ R , x ¦   5x 2 – 3x + 1 __  x – 3  an der Stelle ‒2. C x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 -1 1 2 3 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 -1 1 2 3 4 D B, C t[h] s[km] 21 3 5 7 0 4 6 8 0 200 400 300 100 B B B A A B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv