Mathematik HTL 3, Schulbuch

76 Differentialrechnung 306 Ermittle die Ableitung. a. a mit a(u) = ln(u 2 ) c. c mit c(u) = ln(4u + 3) e. g mit g(u) = ln(4u – u 2 ) b. b mit b(u) = ln(10u + 2) d. d mit d(u) = ln​ 2 ​  1 _ u ​  3 ​ f. f mit f(u) = ln(1 – 5u) 307 Finde die Ableitung. Dokumentiere, welche Ableitungsregeln du dabei verwendest. a. a mit a(x) = ln 2  (2x) c. c mit c(x) = sin(x 3 )·ln(x) e. g mit g(x) = ln​ 2  ​  1 _  x 2 ​  3 ​ b. b mit b(x) = ln(2x 2 + 1) d. d mit d(x) = ln(cos(x 2 )) f. f mit f(x) = ​  ln(x) _ x 2 ​ 308 Ermittle die Ableitung. a. a mit a(x) = ​ 9 ____ 5x + 1​ c. c mit c(x) = ​ 3 9 ____ 8 – 5x 2 ​ e. g mit g(x) = ​ 9 _____ 5x 3 + 2x​ b. b mit b(x) = ​ 9 ___ 1 – x 2 ​ d. d mit d(x) = ​ 3 9 ______ 7x 2 + 4x – 4​ f. f mit f(x) = ​ 3 9 _____ 18x 3 – 6x​ 309 Löse Aufgabe 308 mithilfe eines CAS und begründe die Unterschiede zur händischen Lösung. 310 Ermittle die Ableitungen der Funktion. a. a mit a(x) = ​  ​ 9 ___ x + 1​ _ x – 1  ​ c. c mit c(x) = ​ 9 ___ ​  2x + 3 _ x – 1  ​​ e. g mit g(x) = ​  x 2 + 1 _ 1 – ​ 9 _ x​ ​ b. b mit b(x) = ​  2x – 1 _  ​ 9 ___ x – 4​ ​ d. d mit d(x) = ​ 9 ___ ​  4x – 7 _  x 2 – 1 ​​ f. f mit f(x) = 1 – ​  x 2 _  ​ 9 _ x​+ 3 ​ 311 Ein Radfahrer legt innerhalb von t Sekunden nach dem Start s(t) = 13t – 26·​ 9 ___ t + 1​+ 26m zurück. a. Zeige, dass die Geschwindigkeit dieses Radfahrers nach t Sekunden gleich v(t) = ​  13·​ 9 ___ t + 1​– 13 __ ​ 9 _ _ t + 1​ ​ m/s ist. b. Berechne seine Geschwindigkeit nach  I. 5 s,  II. 10 s sowohl in m/s als auch in km/h. c. Wie groß ist die Beschleunigung dieses Fahrers nach  I. 5 s,  II. 10 s? Implizites Differenzieren Manchmal genügt es, von einer differenzierbaren Funktion nur zu wissen, dass sie eine bestimmte Bedingung erfüllt, um mithilfe der Kettenregel die Ableitung von f zu berechnen. Man nennt diese Vorgangsweise implizites Differenzieren . 312 Die differenzierbare Funktion f: (‒1; 1) ¥ R hat nur positive Funktionswerte und erfüllt die Bedingung f 2 + q = 1, dabei ist q die quadratische Funktion mit q(t) = t 2 und 1 die konstante Funktion 1. Berechne die Steigung der Tangente von f an jeder Stelle t des Definitionsbereichs. Berechne eine Gleichung der Tangente von f an der Stelle 0. Weil die Funktionen f 2 + q und 1 gleich sind, müssen auch ihre Ableitungen gleich sein. Also gilt für alle Zahlen t (f 2 + q)’(t) = 0. Aus der Summenund Kettenregel folgt also für alle Zahlen t 0 = (f 2 + q)’(t) = (f 2 )’(t) + q’(t) = 2f(t)·f’(t) + 2t. Somit ist f’(t) = ‒ ​  2t _  2f(t) ​= ‒ ​  t _  f(t) ​ . Für alle Zahlen t mit ‒1 < t < 1 ist f(t) 2 + t 2 = 1. Weil f(t) positiv ist, folgt daraus f(t) = ​ 9 ___  1 – t 2 ​und die Steigung der Tangente von f an der Stelle t ist f’(t) = ‒ ​  t _  f(t) ​= ‒ ​  t _  ​ 9 ___ 1 – ​t​ 2 ​ ​ ​ . Die Tangente von f an der Stelle 0 ist die Gerade durch (0 1 f(0)) = (0 1 1) mit Steigung f’(0) = 0, also ist y = 1 eine Gleichung dieser Tangente. 313 Berechne durch implizites Differenzieren die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f, welche für alle Zahlen t die angegebene Bedingung erfüllt. a. f 2  (t) + f(t) + t = 1 b. f 2  (t) + cos(t)·f(t) + t = 1 c. 3·f 2  (t) + 2·t 2 = 1 B B, C B B, D B B, D B implizit differenzieren B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv