Mathematik HTL 3, Schulbuch

74 Differentialrechnung 292 Berechne die Ableitung von f. Lege zuerst den Definitionsbereich von f fest. a. f mit f(x) = 6x 2 – 5x + 4 + ​  3x – 1 _ 4x + 3 ​ b. f mit f(x) = (4x 2 – 3 x + 9)​ 9 ____ 7x + 3​ 293 Bestimme die Ableitung der Funktion. a. f mit f(t) = ​ 9 ___ 3t – 1​ b. f mit f(t) = ​ 9 _____ 2t 3 – 3t 2 ​ c. f mit f(t) = ​ 3 9 ____ t 2 + 3t​ 294 Berechne die Ableitung von h mit h(x) = ln(x 2 ). Die Funktion h ist die Zusammensetzung der Funktionen f und g mit f(x) = ln(x) und g(x) = x 2 . Die Ableitung der „inneren Funktion” g ist g’(x) = 2x, die Ableitung der „äußeren Funktion” f ist f’(x) = ​  1 _ x ​ . Die Ableitung von h ist daher h’ mit h’(x) = ​  1 _  x 2 ​·2x = ​  2 _ x ​ . Man hätte mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen auch so rechnen können: h(x) = ln(x 2 ) = 2·ln(x) Daher ist h(x) = 2·ln(x) und es folgt ohne Zuhilfenahme der Kettenregel: h’(x) = 2 ​  1 _ x ​ . 295 Differenziere die Funktion f. Lege zuvor ihren Definitionsbereich fest. a. f(x) = ln(5x + 1) b. f(x) = ln(x 4 ) c. f(x) = ln(3x 2 – 4x) 296 Entscheide zunächst, welche der dir bekannten Ableitungsregeln zu verwenden ist, und leite die gegebene Funktion ab. a. f mit f(t) = (4t – 9) 3 c. f mit f(t) = ​ 9 ______ 5t 2 – 3t + 1​ e. f mit f(t) = ​  t 3 – 4t​ 2 _ t 2 + 5 ​ b. f mit f(z) = ​  7z + 3 _  2z – 9 ​ d. f mit f(z) = (z 2 – 3z)​ 9 _ z​ f. f mit f(z) = ​  z 5 _  lnz ​ 297 Löse Aufgabe 296 mithilfe eines CAS. Vergleiche die Ergebnisse analysiere die Unterschiede. Stelle dann die Graphen von Funktion und Ableitung gemeinsam in einem Diagramm dar. 298 Verwende eine DGS oder ein CAS, um die Graphen der Funktion und ihrer Ableitungen gemeinsam darzustellen. a. f(x) = sin(x) c. f(x) = e x e. f(x) = ln(x) b. f(x) = cos(x) d. f(x) = 2 x f. f(x) = lg(x) 299 Gib die Ableitung der Funktion f an. a. f(x) = e x c. f(x) = 2 x e. f(x) = ln(x) g. f(x) = lg(x) b. f(x) = ​  1 _ 2 ​e x d. f(x) = ​  1 _ 2 ​3 x f. f(x) = ​  1 _ 5 ​ ln(x) h. f(x) = ​  1 _ 4 ​ log 3  (x) 300 Ordne dem Graphen der Funktion den Graphen ihrer Ableitung zu. a. b. c. d. A B C D B B B die Ableitung einer Logarith- musfunktion berechnen B B B, C B B C x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π x y 0 - 2 2 π - π Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv