Mathematik HTL 3, Schulbuch

73 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln 288 Ein Kondensator mit der Kapazität C = 8,2 F wird über einen Widerstand von 1 k Ω von einer Gleichspannungsquelle von 12V aufgeladen. a. Berechne, wie viel Prozent der vollständigen Ladung nach 10 s bereits erreicht werden. b. Der vollständig geladene Kondensator wird über einen Widerstand von 100 Ω entladen. Berechne die Stromstärke nach 1 s. 289 Die Ladung q eines Kondensators zum Zeitpunkt t ist q(t) = q 0 ·e sin(t) für alle t > = 0. Bestimme den Ladestrom i für jeden Zeitpunkt t. Ableitung der Umkehrfunktion Wenn g die Umkehrfunktion von f ist, dann ist f ° g die identische Funktion mit (f ° g)(x) = x, also ist (f ° g)’ die konstante Funktion 1. Wenn f an der Stelle g(a) differenzierbar ist und g an der Stelle a differenzierbar ist, dann gilt für alle Zahlen a: 1 = (f ° g)’(a) = f’(g(a))g’(a). Also kann f’(g(a)) nicht 0 sein und g’(a) =   1 _  f’(g(a)) . Wenn f differenzierbar ist, eine Umkehrfunktion g hat und f’(g(a)) ≠ 0 ist, dann ist g in a differenzierbar und g’(a) =   1 _  f’(g(a)) . Wenn f differenzierbar ist, f’ keine Nullstellen hat und es eine Umkehrfunktion g von f gibt, dann ist g differenzierbar und g’ =   1 _  f’ ° g . Weil die Logarithmusfunktion ln die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f mit f(t) = e t ist, gilt (wegen f’ = f) für alle positiven reellen Zahlen t ln’(t) =   1 _  f’(ln(t))  =   1 _  e ln(t) =   1 _ t . Weil die Logarithmusfunktion log b zur Basis b die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f mit f(t) = b t = e ln(b)·t ist, gilt (wegen f’ = ln(b)·f) log b ’(t) =   1 __  f’(log b (t)) =   1 __  ln(b)·b log b (t) =   1 _  ln(b)·t . Für die Wurzelfunktion w mit w n (x) = x   1 _ n ist w n ’(x) =   1 _ n ·x   1 _ n – 1 , insbesondere ist für w 2 mit w 2 (x) = 9 _ x w 2 ’(x) =   1 _  2 ·  1 _  9 _ x . 290 Differenziere die Funktion h mit h(x) = 9 _____ 3x 2 – 5x . Für alle Zahlen z im Definitionsbereich von h ist h(x) = 9 _____ 3x 2 – 5x= (3x 2 – 5x)   1 _ 2 , also ist h die Zusammensetzung der Wurzelfunktion f mit f(x) = 9 _ xund der Polynomfunktion g mit g(x) = 3x 2 – 5x. Die Ableitung der „inneren Funktion” g ist g’ mit g’(x) = 6x – 5, die Ableitung der „äußeren Funktion” f ist f’ mit f’(x) =   1 _ 2 ·x ‒  1 _ 2 . Die Ableitung von h ist daher h’(x) =   1 _ 2 ·(3x 2 – 5x) ‒  1 _ 2 (6x – 5) =   6x – 5 __  2· 9 _____ 3x 2 – 5x . 291 Berechne die Ableitung der Funktion. a. f mit f(z) = 9 _ z c. f mit f(t) = 5 9 _ t 9 e. f mit f(t) =   1 _  9 _ t g. f mit f(u) =   3 _  5· 6 9 _ u b. f mit f(x) = 4 9 __ x 3 d. f mit f(x) = 3 9 __ x 5   f. f mit f(z) =   4 _  3 9 __ z 2   h. f mit f(r) =   2 _  3· 4 9 _ r 3 A, B B Ableitung der Umkehr funktion Ableitung von Logarithmus- funktionen Ableitung von Wurzel funktionen B die Ableitung einer Wurzel funktion berechnen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv