Mathematik HTL 3, Schulbuch

72 Differentialrechnung 281 Ist die Funktion f: R ¥ R , t ¦ sin(t 2 ) differenzierbar? Berechne dann, wenn möglich, die Gleichungen der Tangenten an den Stellen 0, ‒ ​  π _ 2 ​ , ​  π _  2 ​ , ‒ π und π . Zeichne schließlich den Graphen über dem Intervall [‒ π ; π ]. 282 Zeichne mit einem CAS oder einer DGS für alle Funktionen f mit f(x) = sin(ax + b) den Graphen über dem Intervall [‒ 2 π ; 2 π ]. Gestalte die Eingabe so, dass a und b frei gewählt werden können. Experimentiere dann mit dieser Art von Funktionen. Wie lautet die Gleichung einer Tangente an der Stelle z? Dokumentiere die Ergebnisse. 283 Ist die Funktion f: R \{0} ¥ R , t ¦ ​e​ ​  1 _  t 2 ​ ​differenzierbar? Ermittle, wenn möglich, die Gleichungen der Tangenten an den Stellen ‒2, ‒1, 0, 1, 2. Zeichne dann den Graphen über dem Intervall [‒2; 2]. 284 Experimentiert in der Gruppe mit Funktionen f mit f(t) = e t ·cos(a·t), dabei ist a eine reelle Zahl. Zeichnet mithilfe einer DGS oder eines CAS die Graphen dieser Funktionen und beschreibt deren Aussehen. Sind diese Funktionen differenzierbar? Wie sehen die Tangentengleichungen aus? Was ändert sich, wenn man Funktionen f mit f(t) = e t ·sin(a·t) betrachtet? Fasst eure Ergebnisse zusammen und präsentiert sie der Klasse. Ladung und Entladung von Kondensatoren* Wird an einen vollständig entladenen Kondensator der Kapazität C zum Zeitpunkt t = 0 über einen Ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung U 0 angelegt, so beschreibt die Funktion q mit q(t) = U 0 ·C·​ 2 1 – ​e​ ‒​  t _  RC ​ ​  3 ​ die Ladung des Kondensators nach t Zeiteinheiten. Wird ein Kondensator mit der Ladung Q 0 über einen Ohmschen Widerstand entladen, so gilt für die verbleibende Ladung q(t) des Kondensators zum Zeitpunkt t q(t) = Q 0 ·​e​ ‒​  t _  RC ​ ​ . Für die Ableitung der Funktion q schreibt man statt q’ auch ​  dq _ dt ​ oder ​˙ q​. Die Ableitung q’(t) von q an der Stelle t (also zum Zeitpunkt t) ist die Stromstärke i(t) zum Zeitpunkt t: i = ​  dq _ dt ​(„Strom ist Ladungsänderung pro Zeit“) 285 Ein Kondensator mit der Kapazität C = 4,7 μ F wird über einen Ohmschen Widerstand von R = 680 Ω an eine Gleichspannungsquelle von 9V angeschlossen. a. Berechne die maximal mögliche Ladung dieses Kondensators. b. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt der Kondensator zu 90% geladen ist. c. Berechne i(t), die Stromstärke zum Zeitpunkt t. d. Bestimme die Stromstärke zu den Zeitpunkten t = 0ms, 10ms und 20ms. 286 Berechne aus q(t) = U 0 C(1 – ​e​ ‒​  t _  RC  ​ ​) direkt i(t), die Stromstärke zum Zeitpunkt t. 287 Ein Kondensator der Kapazität C = 2,2 μ F soll über einen Widerstand R von einer Gleichspannungsquelle von 20V aufgeladen werden. a. Berechne, wie der Widerstand R zu wählen ist, damit der Kondensator nach 0,5 s erst zu 50% geladen ist. b. Ermittle, wie lange es dauert, bis der Kondensator zu 90% geladen ist. c. Berechne, zu welchem Zeitpunkt der Ladestrom auf die Hälfte des Wertes zum Zeitpunkt t = 0s abgefallen ist. * Cluster 2 B B, C  ggb p5zm9z B C, D  ggb i65y8x Ladung eines Kondensators Entladung eines Kondensators A, B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv