Mathematik HTL 3, Schulbuch

70 Differentialrechnung Ableitungen einiger wichtiger Funktionen Im Vorjahr haben wir gesehen, dass für alle reellen Zahlen t gilt: cos(t) = sin 2  t +   π _ 2   3 und cos 2  t +   π _ 2   3 = ‒ sin(t). Aus der Kettenregel folgt für alle reellen Zahlen t cos’(t) = sin’ 2  t +   π _ 2   3 = cos 2  t +   π _ 2   3 ·1 = ‒ sin(t). Mit der Quotientenregel können wir nun die Ableitung von Tangens und Cotangens berechnen: tan’(t) = 2    sin _ cos   3 ’ (t) =   sin’(t)·cos(t) – cos’(t)·sin(t) ____  cos 2 (t) =   cos 2 (t) + sin 2 (t) __ cos 2 (t) =   1 _  cos 2 (t) . cot’(t) = 2    cos _ sin   3 ’ (t) =   cos’(t)·sin(t) – sin’(t)·cos(t) ____  sin 2 (t) =   ‒sin 2 (t) – cos 2 (t) ___ sin 2 (t) =   ‒1 _  sin 2 (t) . Für alle reellen Zahlen t ist sin’(t) = cos(t) cos’(t) = ‒ sin(t) tan’(t) =   1 _  cos 2 (t) =   1 __  (cos(t)) 2 cot’(t) =   ‒1 _  sin 2 (t) =   ‒1 _  (sin(t)) 2 Für alle positiven Zahlen a und alle reellen Zahlen t ist a t = e t·ln(a) . Daher ist die Ableitung der Funktion f mit f(t) = a t die Funktion f’ mit f’(t) = e t·ln(a) ·ln(a) = a t ·ln(a). Die Ableitung der Funktion f mit f(t) = a t ist f’ mit f’(t) = a t ·ln(a) . 267 Ermittle die Ableitung der Funktion. a. g mit g(u) = sin(u) c. g mit g(u) = sin(u) – cos(u) e. g mit g(u) =   1 _ 4 cos(u) – u 2 + 1 b. h mit h(u) =   1 _ 2 cos(u) d. h mit h(u) =   1 _  2 tan(u) – sin(u) f. h mit h(u) =   2u + tan(u) __ 3  268 Bestimme die Ableitungen der Funktion mithilfe der Kettenregel. a. a mit a(x) = sin(2x) d. d mit d(x) = sin(x 2 ) g. g mit g(x) = sin(x n ) für n * N b. b mit b(y) = cos(4y) e. e mit e(y) = cos(2y 3 ) h. h mit h(y) = cos(ny + π ) für n * N c. c mit c(z) = tan(7z) f. f mit f(z) = cot(2z 2 + 1) i. i mit i(z) = tan 2   1 _ z   3 269 Ermittle, welche der Ableitungen richtig berechnet wurden, und begründe durch Rechnung. a. f mit f(t) = 2sin(t) A f’(t) = cos(t) B f’(t) = ‒ 2cos(t) C f’(t) = 2cos(t) D f’(t) = cos(2t) b. f mit f(x) =   1 _ 2 e x A f’(x) =   x _ 2 e x B f’(x) =   1 _ 2 e x C f’(x) =   e _ 2 e x D f’(x) =   e x _  2 c. f mit f(y) = 2 ln(y) A f’(y) =   1 _ y B f’(y) =   2 _ y C f’(y) =   1 _  2y  D f’(y) = 2·1·ln(y) d. f mit f(z) = cos(z) + sin(z) A f’(z) = cos(z) + sin(z) C f’(z) = sin(z) – cos(z) B f’(z) = cos(z) – sin(z) D f’(z) = 2sin(z) 270 Berechne die Ableitung durch mehrfaches Anwenden der Produktregel. a. a mit a(s) = s·e s ·sin(s) c. c mit c(s) = s 2 ·e s ·sin(s) b. b mit b(s) = e s ·sin(s)·cos(s) d. d mit d(s) = (s 2 + 2s)·e s ·cos(s) Ableitung von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens Ableitung der Exponential- funktionen zur Basis a B B D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv