Mathematik HTL 3, Schulbuch

69 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln 261 Schreibe die Funktion h als Zusammensetzung von zwei Funktionen f und g. a. h mit h(t) = (2t 2 – 3t + 7) 4 b. h mit h(s) = e 4s + 2 a. h = f ° g mit f(t) = t 4 und g(t) = 2t 2 – 3t + 7 b. h = f ° g mit f(r) = e r und g(r) = 4r + 2 262 Schreibe die Funktion h als Zusammensetzung von zwei Funktionen f und g. a. h mit h(t) = (3t 2 + 4t – 9) 3 c. h mit h(z) = ln(7z – 5) e. h mit h(x) = 7 9 ______ x 3 – 4x + 1 b. h mit h(t) = (t 3 – t 2 + 1) 5 d. h mit h(z) = e 3z 2 – z f. h mit h(x) = sin 2    1 _  x 2   3 Kettenregel Berechnen wir die Ableitung der Zusammensetzung f ° g von zwei differenzierbaren Funktionen f und g an der Stelle a: (f ° g)’(a) =  lim  z ¥ a   (f ° g)(z) – (f ° g)(a) ___ z – a  =  lim    z ¥ a   f(g(z)) – f(g(a)) __  z – a  =  lim    z ¥ a 2    f(g(z)) – f(g(a)) __  g(z) – g(a)  ·  g(z) – g(a) __ z – a    3 = =  lim     g(z) ¥ g(a)   f(g(z)) – f(g(a)) __ g(z) – g(a)  · lim  z ¥ a   g(z) – g(a) __ z – a  = f’(g(a))·g’(a). Ist eine Funktion g in a differenzierbar und eine Funktion f in g(a) differenzierbar, dann ist auch ihre Zusammensetzung f ° g in a differenzierbar und die Ableitung von f ° g an der Stelle a ist das Produkt der Ableitungen von f an der Stelle g(a) und der Ableitung von g an der Stelle a, kurz (f ° g)’(a) = f’(g(a))·g’(a). Wenn f und g (überall) differenzierbar sind, dann ist auch f ° g differenzierbar und (f ° g)’ = ( f’ ° g)·g’ , die Ableitung von f ° g ist also das Produkt der Ableitung g’ von g und der Zusammensetzung f’ ° g der Ableitung von f mit der Funktion g. Tipp Als Merkregel für die Kettenregel verwendet man oft die folgende Sprechweise: g’(a) ist die „innere Ableitung (an der Stelle a)”, f’(g(a)) die „äußere Ableitung (an der Stelle g(a))”. Dann ist die Ableitung (f ° g)’(a) der Zusammensetzung von f und g (an der Stelle a) gleich dem „Produkt der äußeren und der inneren Ableitung”. 263 Berechne die Ableitung der Funktion h mit h(x) = (5x 3 + 2x – 7) 7 . Die Funktion h ist die Zusammensetzung der Polynomfunktionen f mit f(x) = x 7 und g mit g(x) = 5x 3 + 2x – 7. Die Ableitung der „inneren Funktion” g ist 15x 2 + 2, die Ableitung der „äußeren Funktion” f ist 7·x 6 . Die Ableitung von h ist daher h’ mit h’(x) = 7·(5x 3 + 2x – 7) 6 ·(15x 2 + 2). 264 Berechne die Ableitung der Funktion. a. f mit f(t) = (7t + 8) 2 b. g mit g(z) = (3z 2 – 2z + 7) 5 c. h mit h(y) = (y 3 – 5y 2 + y) 4 265 Bestimme die Ableitung der Polynomfunktion mithilfe der Kettenregel. Überprüfe das Ergebnis, indem du zuerst ausmultiplizierst und dann die Ableitung bestimmst. a. x ¦ (3x + 5) 2 c. x ¦ (2x – 7) 2 e. x ¦ (2x 2 + 3) 3 b. x ¦ (x 2 + 1) 2 d. x ¦ (3 – 2x 2 ) 2 f. x ¦ (2 – 4x) 3 266 Differenziere die Funktion. a. f mit f(x) = e 3x c. f mit f(x) = e –  x 2 _  2 e. f mit f(x) = e 2x + 1 b. f mit f(x) = e x 2 d. f mit f(x) = e 3x 2 – 2x + 1 f. f mit f(x) = e 4x 2 + 3x – 8 B Funktionen als Zusammen- setzung von Funktionen schreiben B Kettenregel B Ableitung mithilfe der Kettenregel berechnen ggb/mcd/tns dk34uy B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv