Mathematik HTL 3, Schulbuch

68 Differentialrechnung Zusammensetzen („Verketten”) von Funktionen Ein Händler bietet eine Ware um 2,40€ (ohne 20% Mehrwertsteuer) pro Kilogramm an. Für den Gesamtpreis von a kg dieser Ware berechnet er zuerst den Nettopreis 2,40·a€ und multipliziert diesen dann mit 1,2. Wir bezeichnen die Funktion, die jeder Zahl a den Nettopreis in Euro von a kg dieser Ware zuord net mit np und die Funktion, die jede Zahl b mit 1,2 multipliziert mit mws (für Mehrwertsteuer). Der Händler berechnet zuerst den Nettopreis np(a) und davon dann den Bruttopreis mws(np(a)). Aus den zwei Funktionen mws und np haben wir durch „hintereinander Ausführen” oder „Zusammensetzen” eine dritte bekommen: Die Funktion, die jeder Zahl a den Bruttopreis von a kg der betrachteten Ware zuordnet. Wir nennen sie mws ° np. Sie hat denselben Definitions bereich wie np, denselben Wertebereich wie mws und ihr Funktionswert an der Stelle a ist mws(np(a)). Sind M, N und P Mengen, g eine Funktion von M nach N und f eine Funktion von N nach P, dann ist die Zusammensetzung oder Verkettung der Funktionen f nach g die Funktion f ° g: M ¥ P, m ¦ f(g(m)) , vom Definitionsbereich von g in den Wertebereich von f, die jedem Element von M den Funktionswert f(g(m)) von f an der Stelle g(m) zuordnet. Wir sprechen „f nach g” für f ° g und betonen damit, dass zuerst der Funktionswert bezüglich g berechnet werden muss und danach der bezüglich f. Beispiele: Die Zusammensetzung einer Funktion f: R ¥ R mit der identischen Funktion x: R ¥ R , z ¦ z, ist wieder die Funktion f, also x ° f = f = f ° x. Die Zusammensetzung g nach f der Funktionen f, g: R ¥ R mit f(z) = z + 2 und g(z) = z 2 ist g ° f: R ¥ R , z ¦ g(f(z)) = (z + 2) 2 , die Zusammensetzung f nach g ist f ° g: R ¥ R , z ¦ f(g(z)) = z 2 + 2. Achtung Wie wir beim vorangegangenen Beispiel gesehen haben, sind die Funktionen f ° g und g ° f im Allgemeinen nicht gleich. Beim Zusammensetzen von Funktionen muss die Reihenfolge beachtet werden! 258 Die Funktionen f und g sind gegeben durch f(t) = t 2 + 3t + 1 und g(t) = t – 2. Berechne die Zusammensetzung a. f ° g und b. g ° f der beiden Funktionen. a. Für alle reellen Zahlen t ist (f ° g)(t) = f(g(t)), also ist (f ° g)(t) = f(g(t)) = f(t – 2) = (t – 2) 2 + 3(t – 2) + 1 = t 2 – 4t + 4 + 3t – 6 + 1 = t 2 – t – 2. b. Für alle reellen Zahlen t ist (g ° f)(t) = g(f(t)), also ist (g ° f)(t) = g(f(t)) = g(t 2 + 3t + 1) = (t 2 + 3t + 1) – 2 = t 2 + 3t – 1. Beachte: (f ° g)(0) = ‒ 2 und (g ° f)(0) = ‒1, also sind die Funktionen f ° g und g ° f verschieden. 259 Berechne die Zusammensetzungen f ° g und g ° f der Funktionen f und g. a. f(t) = t 2 und g(t) = t + 3 c. f(z) = 9 _ zund g(z) = 3z + 1 e. f(x) = e x und g(x) = x 2 b. f(t) = t – 5 und g(t) = t 2 + t d. f(z) =   1 _ z und g(z) = z 3 f. f(x) = x + 2 und g(x) = x – 2 260 Zeige, dass sowohl f ° g als auch g ° f die identische Funktion ist. Die Funktion f ist also die Umkehrfunktion der Funktion g und umgekehrt. a. f mit f(t) = e t und g mit g(t) = ln(t) b. f mit f(t) = t n und g mit g(t) = n 9 _ t Zusammen- setzung von Funktionen ggb u55sk8 B die Zusammen- setzung von Funktionen berechnen B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv