Mathematik HTL 3, Schulbuch

67 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln Quotientenregel Wenn f und g differenzierbare Funktionen von M nach R sind und für alle a in M der Funktionswert g(a) von g an der Stelle a nicht 0 ist, kann man f durch g dividieren. Dann ist auch   f _ g differenzierbar und wegen   f _ g ·g = f gilt nach der Produktregel f’ = 2    f _ g ·g  3 ’ = 2    f _ g   3 ’ ·g +   f _ g ·g’. Daraus berechnen wir 2    f _ g   3 ’ =   f’ –   f _ g ·g’ __ g  =   f’g – f·g’ __ g 2 . Wenn zwei Funktionen f und g von M nach R differenzierbar sind und g in M keine Nullstellen hat, dann ist auch   f _ g differenzierbar und für alle reellen Zahlen t ist 2    f _ g   3 ’ (t) =   f’(t)g(t) – f(t)g’(t) ___ g(t) 2 . Kurz: 2    f _ g   3 ’ =   f’g – fg’ _ g 2 . Insbesondere sind alle rationalen Funktionen differenzierbar. Beispiel: Die Ableitung der Funktion f mit f(t) =   1 _  t n ist f’ mit f’(t) = ‒n·  1 _  t n + 1 . 251 Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(t) =   e t _ t  . Die Funktion f ist der Quotient der Exponentialfunktion und der identischen Funktion. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst und die Ableitung der identischen Funktion ist die konstante Funktion 1. Für alle reellen Zahlen t ≠ 0 ist daher f’(t) =   e t ·t – e t ·1 __ t 2 =   e t ·(t – 1) __ t 2 . 252 Berechne die Ableitung der rationalen Funktion f. a. f(x) =   1 _ x b. f(x) =   1 _  x 5 c. f(x) =   4 _  x 3 d. f(x) =   1 _  3x 6 253 Bestimme die Ableitung der rationalen Funktion f. a. f(x) =   x _  x + 1 c. f(x) =   3x 2 _  x 2 + 1 e. f(x) =   x 2 + 2x 3 __  x 3 – x 2 + 1 g. f(x) =   ‒x 4 _  x 2 – x b. f(x) =   x 2 _  2x + 1 d. f(x) =   2 – x 3 _ x 2 – 1 f. f(x) =   1 – x 2 + x 3 __ x 2 + 2x – 4 h. f(x) =   3x 3 + x _ 2x – 1  254 Gib die Ableitung der Funktion f an. Lege zuvor ihren Definitionsbereich fest. a. f(x) =   sin(x) _ x  c. f(x) =   e x _  sin(x)  e. f(x) =   e x _ x 2 b. f(x) =   x 2 _  sin(x)  d. f(x) =   2sin(x) _ e x f. f(x) =   x 3 _ e x 255 Zeige, dass die Funktion f: R \{0} ¥ R , z ¦   e z _ z  differenzierbar ist, gib die Gleichungen der Tangenten an den Stellen ‒2, ‒1, 1, 2 an und zeichne den Graphen über den Intervallen (‒3; 0) und (0; 3). 256 Die Geschwindigkeit eines startenden Radfahrers ist nach t Sekunden gleich v(t) = 10 –   10 __  t 2 + 2t + 1 m/s. Die Beschleunigung zur Zeit t (in m/s 2 ) erhält man durch Ableitung der Funktion v an der Stelle t. Wie groß ist die Beschleunigung am Start, nach 1 s und nach 5 s? 257 Die Geschwindigkeit eines Hundes ist nach t Sekunden gleich v(t) = 12 –   48 __  t 2 + 4t + 4 m/s. Die Beschleunigung zur Zeit t (in m/s 2 ) erhält man durch Ableitung der Funktion v an der Stelle t. Berechne die Beschleunigung dieses Hundes nach 2 Sekunden. Quotienten- regel B eine Ableitung mithilfe der Quotienten regel berechnen mcd d9p2da B B B B, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv