Mathematik HTL 3, Schulbuch

66 Differentialrechnung Rechenregeln für die Ableitung Die Summenregel und Produktregel für das Differenzieren von Polynomfunktionen gelten auch für beliebige differenzierbare Funktionen: Sind f und g differenzierbare Funktionen, dann sind auch f + g und f·g differenzierbar und es gilt: (f + g)’ = f’ + g’ „Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen.” (f·g)’ = f’·g + f·g’ „Die Ableitung des Produktes ist die Summe des Produkts der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten und des Produkts der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten.” Anders formuliert: Für alle reellen Zahlen t ist (f + g)’(t) = f’(t) + g’(t) und (f·g)’(t) = f’(t)·g(t) + f(t)·g’(t). Wenn c eine konstante Funktion ist, ist c’ = 0. Also ist: (c·g)’ = c’·g + c·g’ = c·g’ „Die Ableitung des cFachen einer Funktion ist das cFache der Ableitung.” Anders formuliert: Für alle reellen Zahlen t ist (c·g)’(t) = c·g’(t). 246 Zeige, dass die Funktion f: R ¥ R mit f(z) = sin(z) + z·e z differenzierbar ist, berechne ihre Ableitung und eine Parameterform sowie eine Gleichung ihrer Tangente an der Stelle 0. Die Funktion f ist die Summe der Sinusfunktion und des Produktes der identischen Funktion und der Exponential­ funktion. Alle diese Funktionen sind differenzierbar. Nach der Summenund Produktregel ist f auch differenzierbar und für alle reellen Zahlen z ist f’(z) = cos(z) + 1·e z + z·e z . Die Ableitung von f an der Stelle 0 ist f’(0) = cos(0) + e 0 + 0·e 0 = 1 + 1 + 0 = 2. Wegen f(0) = sin(0) + 0·e 0 = 0 ist die gesuchte Tangente die Gerade durch (0 1 0) mit Steigung 2. Deren Parameterform ist {t·(1 1 2) ‡ t * R } und eine Gleichung dieser Geraden ist y = 2x. 247 Bestimme die Ableitung der Funktion. a. f mit f(x) = x + sin(x) c. f mit f(x) = sin(x) + e x e. f mit f(x) = x 2 + 2sin(x) + 3e x b. f mit f(x) = x 2 + sin(x) d. f mit f(x) = e x + x f. f mit f(x) = 3x – sin(x) + 5e x 248 Berechne die Ableitung der Funktion. a. f mit f(x) = x·sin(x) c. f mit f(x) = e x ·sin(x) e. f mit f(x) = x 2 ·e x b. f mit f(x) = x 3 ·sin(x) d. f mit f(x) = 2e x ·sin(x) f. f mit f(x) = 3x 3 ·e x 249 Zeige, dass die Funktion f: R ¥ R , t ¦ t·sin(t) differenzierbar ist. Bestimme dann Gleichungen der Tangenten an den Stellen 0, ‒ ​  π _ 2 ​ , ​  π _ 2 ​ , ‒ π und π . Zeichne schließlich den Graphen von f. 250 Welche der Ableitungen h’ ist die Ableitung der Funktion h mit h(x) = x 2 ·sin(x)? Begründe. A  h’(x) = 2x·cos(x) C  h’(x) = 2x·cos(x) + x 2  sin(x) B  h’(x) = 2x·sin(x) D  h’(x) = 2x·sin(x) + x 2  cos(x) Summenregel Produktregel Faktorregel B, D die Ableitung einer Funktion und die Gleichung der Tangente berechnen  ggb/mcd r8ui59 z y 0 - 3 - 4 - 2 -1 1 2 - 2 -1 1 2 3 4 f B B B, D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv