Mathematik HTL 3, Schulbuch

65 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln 238 Markiere im Graphen einer Funktion f folgende Punkte: a. Einen Punkt A, in dem der Differentialquotient negativ ist. b. Einen Punkt B, in dem der Differentialquotient 0 ist. c. Einen Punkt C, in dem der Differentialquotient kleiner als ‒1 ist. d. Einen Punkt D, in dem der Differentialquotient größer als 0,5 ist. 239 Beweise, dass die Differenzenquotienten der Funktionen f und g mit f(x) = x 2 und g(x) = x 2 + 2 für beliebige Intervalle [a; b] gleich sind. 240 Zeige, dass die Differentialquotienten der quadratischen Funktionen f(x) = ‒ x 2 und g(x) = 4 – x 2 an allen Stellen a gleich sind. 241 Zeige, dass für die quadratische Funktion f mit f(x) = x 2 der Differenzenquotient im Intervall [a; b] gleich dem Differentialquotienten an der Stelle ​  a + b _ 2  ​ist. 242 Beweise, dass für die quadratische Funktion f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 der Differenzenquotient im Intervall [s; t] gleich dem Differentialquotienten an der Stelle ​  s + t _ 2  ​ist. 243 Ein Wasserrohr mit einem Radius r hat einen kreisförmigen Querschnitt. a. Gib die Funktion an, die jedem Radius die Querschnittsfläche des Rohres zuordnet. b. Zeichne den Graphen der Funktion aus Aufgabe a. für Radien zwischen 8cm und 15 cm. c. Berechne die mittlere Änderungsrate der Fläche bei einer Änderung des Radius von r 1 auf r 2  . d. Berechne die momentane Änderungsrate der Fläche für einen beliebigen Radius r. 244 Wenn ein Körper mit einer konstanten Masse m in einem konstanten Abstand r um eine Drehachse rotiert, so ist seine Zentrifugalkraft F z = m·r· ω 2 , wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist. a. Zeichne den Graphen der Funktion F z  , die jeder Winkelgeschwindigkeit ω die entsprechende Zentrifugalkraft zuordnet, für Winkelgeschwindigkeiten zwischen 0 rad/s und 5 rad/s, wenn der Körper eine Masse von 100kg hat und der Radius 4m beträgt. b. Berechne die mittlere Änderungsrate der Zentrifugalkraft, wenn sich die Winkelgeschwindig­ keit von 1 rad/s auf 2 rad/s erhöht. c. Ermittle die mittlere Änderungsrate der Zentrifugalkraft, wenn sich die Winkelgeschwindig­ keit von ω auf ω + Δω erhöht. d. Gib die momentane Änderungsrate der Zentrifugalkraft für eine beliebige Winkel­ geschwindigkeit ω bei konstanter Masse und konstantem Radius an. 245 Bei einem Crashtest wird beim Aufprall eines Fahrzeuges Energie freigesetzt. Diese hängt von der Masse des Fahrzeuges m und der Geschwindigkeit des Fahrzeuges v ab. Es gilt dabei E(v) = ​  1 _ 2 ​m·v 2 , wobei m in kg und v in m/s angegeben wird. a. Zeichne für einen PKW mit einer Masse von 1200 kg den Graphen der Funktion E für Geschwindigkeiten zwischen 10m/s und 25m/s. b. Ermittle die mittlere Änderungsrate der Aufprallenergie, wenn sich die Aufprallgeschwindig­ keit von 10m/s auf 15m/s erhöht. c. Berechne die mittlere Änderungsrate der Aufprallenergie, wenn sich die Aufprallgeschwindig­ keit von v auf v + Δ v erhöht. d. Bestimme die momentane Änderungsrate der Aufprallenergie für beliebige Geschwindig­ keiten v. C x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 - 3 -1 1 2 f D D D D A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv