Mathematik HTL 3, Schulbuch

64 Differentialrechnung 232 Ein Cliffdiver springt aus einer Höhe von 28m ab und wird immer schneller. Die Funktion s: R ¥ R , t ¦ 4,9 t 2 ordnet jedem Zeitpunkt t den nach t Sekunden zurückgelegten Weg s(t) zu (s in Meter, t in Sekunden). a. Zeichne den Graphen der Funktion s über einem geeigneten Intervall. b. Bestimme die Momentangeschwindigkeit des Springers 1,5 s nach dem Absprung. c. Ermittle, wie schnell der Springer beim Eintauchen ins Wasser ist. Mittlere und momentane Änderungsraten 233 Eine Konservendose hat die Form eines Drehzylinders. Wir betrachten die Funktion V, die jeder Zahl r das Volumen einer Konservendose mit Höhe h und Radius r zuordnet: V(r) = r 2 · π ·h a. Zeichne den Graphen der Funktion V für eine Höhe von 15cm und Radien zwischen 0 und 4cm. b. Berechne die mittlere Änderungsrate des Volumens für eine Änderung des Radius von 2,5cm auf 3 cm bei einer Höhe von 15 cm. c. Ermittle die mittlere Änderungsrate des Volumens für Änderungen des Radius von r auf r + Δ r. d. Berechne die momentane Änderungsrate des Volumens für einen beliebigen Radius r bei vorgegebener Höhe h. 234 Die Fläche eines Kreises mit Radius r ist A = r 2 π . a. Berechne die mittlere Änderungsrate der Fläche, wenn der Radius von 10cm auf 10,2 cm anwächst. b. Berechne die mittlere Änderungsrate der Fläche, wenn der Radius von r auf r + Δ r wächst. c. Zeige, dass die momentane Änderungsrate der Fläche beim aktuellen Radius r genau dem Umfang dieses Kreises entspricht. 235 Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist O = 4r 2 π , das Volumen V = ​  4 _ 3 ​r 3 π . Zeige, dass die momentane Änderungsrate des Volumens einer Kugel der Oberfläche dieser Kugel entspricht. 236 Gib an, welche der Aussagen zum abgebildeten Graphen einer Funktion f passen. A  Der Differenzenquotient für f in [‒1; 0] ist positiv. B  Der Differenzenquotient in [1; 4] ist positiv. C  Der Differentialquotient an der Stelle ‒3 ist negativ. D  Der Differentialquotient an der Stelle 3 ist negativ. E  Die mittlere Änderungsrate von f in [0; 1] ist kleiner als 1. F  Der Differentialquotient ist für manche Stellen von f gleich 0. 237 Ein Luftballon hat annähernd die Form einer Kugel und wird aufgeblasen. Das Volumen des Luft­ ballons mit Radius r ist näherungsweise V(r) = ​  4· π ·r 3 _ 3  ​ . a. Zeichne den Graphen der Funktion V für Radien zwischen 0cm und 10 cm. b. Berechne, wie groß die mittlere Volumszunahme des Ballons für Radien zwischen 5cm und 6 cm ist. c. Ermittle die mittlere Volumszunahme, wenn sich der Radius von 3 cm auf 4,5 cm ändert. d. Berechne die mittlere Volumszunahme für eine Änderung des Radius von r 1 auf r 2  . e. Ermittle die momentane Änderungsrate von V für einen beliebigen Radius r. f. Verwende die Aufgabe e. , um die momentane Änderungsrate für die Radien 3 cm, 5 cm und 8 cm zu bestimmen. B B B, D D C x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 f B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv