Mathematik HTL 3, Schulbuch

63 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln 225 Ein sportliches Fahrzeug hat t Sekunden nach dem Start s(t) = 3,5t 2 Meter zurückgelegt. Berechne die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeuges 5 Sekunden nach dem Start und die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 5 und 5,001 Sekunden. 226 Ein Fahrzeug hat nach t Sekunden s(t) = 0,5t 2 + 3t Meter zurückgelegt. Ermittle die Momentan­ geschwindigkeit nach 4 Sekunden und die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeit­ punkten 5 und 5,01 Sekunden. 227 Die Fahrt eines PKW wird durch die Funktion s: R ¥ R , t ¦ 2t 2 beschrieben, die jeder Zahl t den Weg in Meter, den der PKW nach t Sekunden zurückgelegt hat, zuordnet. a. Zeichne den Graphen der Funktion über dem Intervall [0; 5]. b. Bestimme die Ableitung der Funktion an der Stelle 2,5. c. Was bedeutet die Ableitung der Funktion an der Stelle 2,5? Erkläre in kurzen Worten. 228 Die Fahrt eines Rennwagens wird durch die WegZeitFunktion s: R ¥ R , t ¦ 5,5t 2 beschrieben (s in Meter, t in Sekunden). a. Zeichne den Graphen der Funktion über dem Intervall [0; 6]. b. Berechne die Ableitung der Funktion s. c. Verwende Aufgabe b. , um eine Tabelle mit den Momentangeschwindigkeiten in km/h nach 0, 1, … , 6 Sekunden zu erstellen. d. Zeichne nun über dem Intervall [0; 6] den Graphen der Funktion, die jedem Zeitpunkt die entsprechende Momentangeschwindigkeit in km/h zuordnet. 229 Ein Speedskifahrer fährt einen Hang hinunter und wird dabei immer schneller. 2 s nach dem Start hat er einen Weg von 10,4m zurückgelegt, nach weiteren 2 s schon 41,6m. a. Wähle eine geeignete Funktion, die den Zusammenhang zwischen Zeit und Weg beschreibt. b. Berechne dann, wie schnell der Speedskifahrer nach 3s ist. Gib die Geschwindigkeit in km/h an. c. Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 2s und 4s nach dem Start. 230 Im Rahmen der Leichtathletikweltmeisterschaft 2009 in Berlin wurde der 100mWeltrekord von Usain Bolt (Jamaika) genau analysiert und ein ZeitWegDiagramm erstellt. Beantworte die Fragen anhand dieses Diagramms. Gib die Geschwindigkeiten jeweils in m/s und in km/h an. a. Wie lange benötigte Bolt für die 100 Meter? b. Ermittle seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf den 100 Metern. c. Gib an, wie groß seine Durchschnittsgeschwindig­ keit auf den ersten 10 Metern war. d. Nach wie viel Sekunden erreichte er in etwa seine Höchstgeschwindigkeit? e. Berechne seine Höchstgeschwindigkeit. f. Ermittle mithilfe der Tangente, wie groß seine Momentangeschwindigkeit eine Sekunde nach dem Start war. 231 Ein Marathonläufer legt innerhalb von t Stunden nach dem Start s(t) = 70·(1 – 0,75 t ) km zurück. a. Berechne jeweils die mittlere Geschwindigkeit während der 1., 2. und 3. Stunde. b. Ermittle den Zeitpunkt, zu dem der Läufer nach 42 km die Ziellinie überquert. B B B, C, D A, B A, B B, C Sekunden Meter 0 21 3 5 7 9 11 8 10 4 6 0 20 40 80 60 100 120 110 90 70 50 30 10 B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv