Mathematik HTL 3, Schulbuch

62 Differentialrechnung 222 Gib an, an welchen Stellen im dargestellten Bereich die Funktion differenzierbar ist. Begründe. a. b. c. d. 223 Zeichne den Graphen einer Funktion über dem Intervall [‒4; 4], welche die folgenden Eigen­ schaften hat. a. differenzierbar auf ganz R und monoton wachsend auf [‒4; 4] b. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle 1 c. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle ‒2 und monoton wachsend auf ganz R d. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle 0 und konkav auf [‒4; 4] Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit Wir beschreiben eine Bewegung (eines Teilchens, eines Fahrzeugs …) durch die Funktion s („Weg”), die jeder Zahl t den bis zum Zeitpunkt t zurückgelegten Weg s(t) in Meter nach t Sekunden zuordnet. Der Definitionsbereich kann ganz R oder eine Teilmenge davon, zum Beispiel ein Intervall, sein. Die Durchschnittsgeschwindigkeit (oder mittlere Geschwindigkeit ) zwischen den Zeitpunkten a Sekunden und t Sekunden ist als Quotient des in dieser Zeit zurück­ gelegten Weges und der abgelaufenen Zeit definiert, ist also der Differenzenquotient ​  s(t) – s(a) __ t – a  ​m/s. Wir nehmen an, dass die Funktion s differenzierbar ist. Der Grenzwert ​ lim    t ¥ a ​ ​  s(t) – s(a) __ t – a  ​ der Durchschnittsgeschwindigkeiten (die in immer kleineren Zeitintervallen gemessen werden) ist dann die Ableitung s’(a) = ​ ˙ s​ (a) der Funktion „Weg” an der Stelle a und heißt Momentan­ geschwindigkeit zur Zeit a . Die Einheit der Geschwindigkeit ist m/s. Es gilt: 1m/s = 3,6 km/h. Beachte hier, dass der Buchstabe s sowohl für „Sekunde” als auch für „Weg” verwendet wird! 224 Ein beschleunigendes Auto legt in t Sekunden den Weg s(t) = 2·t 2 m zurück. Ermittle die Momentangeschwindigkeit des Autos 4 Sekunden nach dem Start. Berechne die Durchschnitts­ geschwindigkeiten zwischen den Zeitpunkten  a. 4 und 5 Sekunden,  b. 4 und 4,5 Sekunden, c. 4 und 4,1 Sekunden. Gib die Geschwindigkeit sowohl in m/s als auch in km/h an. Für alle t ist ​ ˙ s​ (t) = 4·t, die Momentangeschwindigkeit nach 4 Sekunden ist daher ​ ˙ s​ (4) = 16m/s = 57,6 km/h. a. Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 4 und 5 Sekunden ist ​  s(5) – s(4) __ 1  ​= ​  2·5 2 – 2·4 2 __ 1  ​= 18m/s = 18·3,6 km/h = 64,8 km/h. b. Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 4 und 4,5 Sekunden ist ​  s(4,5) – s(4) __ 0,5  ​= ​  2·4,5 2 – 2·4 2 __  0,5  ​= 17m/s = 17·3,6 km/h = 61,2 km/h. c. Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 4 und 4,1 Sekunden ist ​  s(4,1) – s(4) __ 0,1  ​= ​  2·4,1 2 – 2·4 2 __ 0,1  ​= 16,2m/s = 58,32 km/h. C, D x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 6 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 6 A Durchschnitts­ geschwindigkeit Momentan­ geschwindigkeit B Durchschnitts- geschwindig- keit berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv