Mathematik HTL 3, Schulbuch

61 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln Für die folgenden wichtigen Aussagen geben wir keinen Beweis an: Die Sinusfunktion ist differenzierbar und für alle reellen Zahlen t ist sin’(t) = cos(t) . Die Exponentialfunktion f mit f(t) = e t ist differenzierbar und für alle reellen Zahlen t ist f’(t) = e t . 215 Berechne je eine Parameterform und je eine Gleichung der Tangente der Sinusfunktion an den Stellen 0 und   π _ 2 . Wegen sin’(0) = cos(0) = 1 ist die Steigung der Tangente der Sinusfunktion an der Stelle 0 gleich 1. Da diese Tangente den Punkt (0 1 0) enthält, ist {t·(1 1 1) ‡ t * R } eine Parameterform und x – y = 0 eine Gleichung davon. Wegen sin’ 2    π _ 2   3 = cos 2    π _ 2   3 = 0 ist die Steigung der Tangente der Sinusfunktion an der Stelle   π _ 2 gleich 0. Da diese Tangente den Punkt 2    π _  2   1  sin 2    π _ 2   3   3 = 2      π _ 2   1  1  3 enthält, ist {    2      π _ 2   1  1  3 + t·(1 1 0)  †  t * R  } eine Parameterform und y = 1 eine Gleichung davon. 216 Berechne je eine Parameterform und je eine Gleichung der Tangenten der Sinusfunktion an den Stellen 0,   π _ 4 ,   π _ 2 , π ,   3 π _ 2  und 2 π . Zeichne dann den Graphen der Sinusfunktion in einer kleinen Umgebung dieser Zahlen. 217 Bei Näherungsrechnungen wird für kleine Winkel α im Bogenmaß oft sin( α ) durch α ersetzt. Begründe das. Erstelle mit einem Taschenrechner oder einem CAS eine Tabelle mit den Funktionswerten sin( α ) – α , für α =   k _  100  , k = 0, 1, … , 9, 10. 218 Berechne für die Exponentialfunktion f mit f(x) = e x an den Stellen ‒2, ‒1, 0, 1, 2 eine Gleichung der Tangente. Skizziere dann den Verlauf der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der gegebenen Zahlen. 219 Untersucht, in welcher Umgebung einer Stelle a die Exponentialfunktion durch eine lineare Funktion gut angenähert werden kann. Wählt dafür zwei beliebige Stellen a 1 und a 2 aus und erstellt jeweils eine Wertetabelle für die Umgebung von a 1 bzw. a 2 , und zwar mit Werten der Exponentialfunktion und mit Werten der linearen Näherung. Bis zu welcher Umgebung ist die Näherung gut? Unterscheiden sich die Ergebnisse für die Umgebung von a 1 und a 2 ? Begründet. 220 Zeige, dass die Funktion f mit f(t) = † t – 1 † an der Stelle 1 nicht differenzierbar ist. 221 Gib eine Funktion an, die die an allen Stellen außer 5 differenzierbar ist. ggb 6br9i3 Ableitung der Sinusfunktion und der Expo- nentialfunktion B eine Parameterform und eine Gleichung einer Tangente berechnen ggb/mcd 9gs23n x y 0 -1 1 - 2 -1 1 2 π 2 π B B, D B D D A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv