Mathematik HTL 3, Schulbuch

60 Differentialrechnung Die Gerade durch (a 1 f(a)) mit Steigung f’(a) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt (a 1 f(a)) oder Tangente von f an der Stelle a. Die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) nennen wir die lineare Näherung von f an der Stelle a . Eine Funktion heißt differenzierbar , wenn sie in jedem Element ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Tipp Wie für Polynomfunktionen gilt auch für beliebige differenzierbare Funktionen f: In einer kleinen Umgebung von a sind die Funktionswerte von f und von der linearen Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) „fast gleich”. Man sagt daher auch: Differenzierbare Funktionen sind lokal linear . Geometrisch formuliert: In einer kleinen Umgebung des Punktes (a 1 f(a)) sind die Tangente von f und der Graph von f „fast gleich”. Man sagt daher auch: Die Graphen von differenzierbaren Funk tionen sehen „lokal” wie Geradenstücke aus. Die Funktion, die jedem Element a von M die Ableitung f’(a) von f in a zuordnet, heißt Ableitung von f und wird mit f’ bezeichnet. Beispiele: Polynomfunktionen sind differenzierbar (siehe Abschnitt 2.1). Die Betragsfunktion b: R ¥ R , z ¦ † z † , die jeder reellen Zahl ihren Absolutbetrag zuordnet, ist an allen Stellen mit Ausnahme von 0 differenzier bar. Wenn z negativ bzw. positiv ist, stimmt sie in einer kleinen Umgebung von z mit der Polynom funktion f mit f(x) = ‒ x bzw. g mit g(x) = x überein, ist daher in z differenzierbar und b’(z) = ‒1 bzw. 1. Betrachten wir aber die zwei gegen 0 konvergieren den Folgen k ‒   1 _ n   l und k    1 _ n   l (wir beginnen mit n = 1), dann ist lim    n ¥•   | ‒  1 _ n   | – † 0 † __ ‒  1 _ n – 0 = ‒1 und lim    n ¥•   |    1 _ n   | – † 0 † _   1 _ n – 0 = 1. Die Bilder von zwei verschiedenen gegen 0 konvergierenden Folgen konvergieren nicht gegen dieselbe Zahl! Also existiert der Grenzwert der Differenzenquotienten der Betrags funktion an der Stelle 0 nicht. Somit ist diese Funktion in 0 nicht differenzierbar. Geometrisch bedeutet das: Der Graph der Betragsfunktion sieht in jeder noch so kleinen Umgebung von (0 1 0) nicht wie ein kleines Stück einer Geraden aus. Jede in a differenzierbare Funktion ist auch in a stetig. Denn: Der Grenzwert  lim    z ¥ a (z – a) existiert immer (und ist 0). Wenn der Grenzwert  lim    z ¥ a   f(z) – f(a) __  z – a  existiert, dann auch der Grenzwert des Produktes (z – a)·  f(z) – f(a) __  z – a  = f(z) – f(a) für z gegen a und ist das Produkt der Grenzwerte 0 und f’(a), also 0. Also existiert der Grenz wert  lim    z ¥ a (f(z) – f(a)) und ist 0. Daher ist  lim    z ¥ a f(z) = f(a), also ist f in a stetig. Umgekehrt gibt es stetige Funktionen wie die Betragsfunktion, die nicht differenzierbar sind. Tipp Graphen von stetigen Funktionen können „in einem Zug” (ohne Sprungstellen) gezeichnet werden, können aber „Ecken” enthalten. Graphen von differenzierbaren Funktionen haben keine „Ecken“ und sehen in einer kleinen Umgebung jedes ihrer Punkte wie ein Geradenstück aus. Tangente einer differenzierbaren Funktion lineare Näherung differenzierbare Funktion Ableitung einer differenzier- baren Funktion ggb 8i8f3r x y 1 -1 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv