Mathematik HTL 3, Schulbuch

6 Zusätzliche Materialien auf www.oebv.at englischsprachige Auf­ gaben zu jedem Kapitel Aufgaben zur Indivi­ dualisierung zu jedem Kapitel Aufgaben für spezielle Fachrichtungen der HTL zusätzliches Material (Downloads) interessante Links in die Welt der Mathematik 166 Integralrechnung 775 Neben einerAutobahn soll ein Lärm schutzwallaufgeschüttetwerden, dessenQuerschnittsprofil inder Zeichnungdargestellt ist.Die Längen­ einheit imKoordinatensystem istdabei Meter.DasQuerschnittsprofilwird dabei vomGraphenderPolynom- funktion fmit f(x) = ‒ x 3 _ 9 – 4x 2 _ 3 – 4xüber dem Intervall [‒6; 0] erzeugt. a. BerechnedieHöhedes Lärmschutz­ walls. b. ErmittledieBreitedes Lärmschutzwalls in einerHöhe von2m. c. BerechnedieQuerschnittsflächedes Lärmschutzwalls. d. Ermittle,wie vielKubikmeterErde erforderlich sind,umdiesen Lärmschutzwallauf einer Länge von800maufzuschütten. 776 AndenGraphenPolynomfunktion fmit f(x) = ‒ x 2 _ 4 – x+8 istanderStelle2dieTangente zu legen. Als Längeneinheitwählenwir 1cm. a. ErmittledieTangentengleichung.ZeichnedenGraphenunddieTangenteüberdem Intervall [‒1;5]. b. Berechnedie FlächederMenge,diederGraph von f,dieTangenteunddie xAchse einschließen. a. DieAbleitung von f ist f’mit f’(x) = ‒ x _ 2 – 1. Es ist f(2) =5und f’(2) = ‒2.DieTangenteanderStelle2 istdieGerademitSteigung ‒2durchdenPunkt (2 1 5), ihreGleichung istdaher2x+ y=2·2+5= 9,also 2x+ y =9. b. DerSchnittpunktderTangentemitder xAchse ist (4,5 1 0). DerSchnittpunktedesGraphen von fmitder xAchse istder Punkt (a 1 0),wobeia eineNullstelle von f ist.DieNullstellen von f sind ‒8und 4,der vonunsgesuchteSchnittpunktdes Graphen von fmitder xAchse istdaher (4 1 0). Diegesuchte FlächeA istdieDifferenzder FlächeA tan derMenge zwischendem Intervall [2; 4,5]undderTangenteundder FlächeA f derMengeüberdem Intervall [2; 4]undunter demGraphen von f. A tan = : 2 4,5 (‒2t+ 9)dt = ‒t 2 + 9t 1 2 4,5 =20,25 – 14=6,25 A f = : 2 4 2 ‒ t 2 _ 4 – t+8 3 dt= ‒ t 3 _ 12 – t 2 _ 2 +8t 1 2 4 ≈ 18,66 – 13,33 =5,33 A =A tan –A f =6,25 –5,33 =0,92 777 Gegeben istdie Funktion fmit f(x) = 0,1x 3 –2,025x. a. ErmittledieTangenteandenGraphen von fanderStelle ‒3. b. ZeichendenGraphen von f sowiedie inAufgabe a. ermittelteTangente. c. Der Funktionsgraph,die inAufgabe a. ermittelteTangente sowiedie xAchse schließen eine Menge ein.SchraffieredieseMenge indeinerZeichnungundberechne ihre Fläche. A,B x y 0 1 -1 2 4 3 3 2 1 -3 -2 - 4 -5 -7 -6 - 1 Lärmschutzwall Autobahn B die Fläche zwischendem Graphen einer Funktionund seinerTangente berechnen ggb/mcd/tns 46c76f x y 0 -1 1 2 4 5 3 -2 2 4 8 10 6 (2 1 5) f t B HTL_3.indb 166 25.06.2013 14:10:58 Den im Buch abgedruckten OnlineCode in das Suchenfeld der öbvWebsite www.oebv.at direkt eingeben. 166 Integralrechnung 775 Neben einer Autobahn soll ein Lärm schutzwall aufgeschüttet werden, dessen Querschnittsprofil in der Zeichnung dargestellt ist. Die Längen­ einheit im Koordinatensystem ist dabei Meter. Das Querschnittsprofil wird dabei vom Graphen der Polynom- funktion f mit f(x) = ‒ x 3 _ 9 – 4x 2 _ 3 – 4x über dem Intervall [‒6; 0] erzeugt. a. Berechne die Höhe des Lärmschutz­ walls. b. Ermittle die Breite des Lärmschutzwalls in einer Höhe von 2m. c. Berechne die Querschnittsfläche des Lärmschutzwalls. d. Ermittle, wie viel Kubikmeter Erde erforderlich sind, um diesen Lärmschutzwall auf einer Länge von 800m aufzuschütten. 776 An den Graphen Polynomfunktion f mit f(x) = ‒ x 2 _ 4 – x + 8 ist an der Stelle 2 die Tangente zu legen. Als Längeneinheit wählen wir 1 cm. a. Ermittle die Tangentengleichung. Zeichne den Graphen und die Tangente über dem Int rvall [‒1; 5]. b. Berechne die Fläche der Menge, die der Graph von f, die Tangente und die xAchse einschließen. a. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) = ‒ x _ 2 – 1. Es ist f(2) = 5 und f’(2) = ‒ 2. Die Tangente an der Stelle 2 ist die Gerade mit Steigung ‒2 durch den Punkt (2 1 5), ihre Gleichung ist daher 2x + y = 2·2 + 5 = 9, also 2x + y = 9. b. Der Schnittpunkt der Tangente mit der xAchse ist (4,5 1 0). Der Schnittpunkte des Graphen von f mit der xAchse ist der Punkt (a 1 0), wobei a eine Nullstelle von f ist. Die Nullstellen von f sind ‒ 8 und 4, der von uns gesuchte Schnittpunkt des Graphen von f mit der xAchse ist daher (4 1 0). Die gesuchte Fläche A ist die Differenz der Fläche A tan der Menge zwischen dem Intervall [2; 4,5] und der Tangente und der Fläche A f der Menge über dem Intervall [2; 4] und unter dem Graphen von f. A tan = : 2 4,5 (‒ 2t + 9) dt = ‒ t 2 + 9t 1 2 4,5 = 20,25 – 14 = 6,25 A f = : 2 4 2 ‒ t 2 _ 4 – t + 8 3 dt = ‒ t 3 _ 12 – t 2 _ 2 + 8t 1 2 4 ≈ 18,66 – 13,33 = 5,33 A = A tan – A f = 6,25 – 5,33 = 0,92 777 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,1x 3 – 2,025x. a. Ermittle die Tangente an den Graphen von f an der Stelle ‒3. b. Zeichen den Graphen von f sowie die in Aufgabe a. ermittelte Tangente. c. Der Funktionsgraph, die in Aufgabe a. ermittelte Tangente sowie die xAchse schließen eine Menge ein. Schraffiere diese Menge in deiner Zeichnung und berechne ihre Fläche. A, B x y 0 1 -1 2 4 3 3 2 1 - 3 - 2 - 4 - 5 - 7 - 6 - 1 Lärmschutzwall Autobahn B die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und seiner Tangente berechnen ggb/mcd/tns 46c76f x y 0 -1 1 2 4 5 3 -2 2 4 8 10 6 (2 1 5) f t B HTL_3.indb 166 25.06.2013 14:10:58 Englisch i584s6 Individualisierung hj697n Fachrichtung xk45vm Material 26ep62 Link sd7r6p Technologieeinsatz Ausführliche Einführungen zu GeoGebra , Excel , Mathcad und dem TI-Nspire Applets zur Veranschaulichung der Theorie Ausführliche Erklärungen, die zeigen, wie Muster­ aufgaben im Buch auch mit Technologieeinsatz gelöst werden können Zu diesem Schulbuch gibt es eine umfassende OnlineErgänzung, die zahlreiche zusätzliche Materialien zum Buch sowie Einführungen, Erklärungen und Applets für den Einsatz von Technologie zur Verfügung stellt. Alle Inhalte der OnlineErgänzung sind den Inhaltsund Handlungsdimensionen der Standardmatrix zugeordnet. Technologie GeoGebra Mathcad Excel TINspire ggb 4pz5g5 mcd d665sh xls r9d4eb tns c67t4d Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv