Mathematik HTL 3, Schulbuch

55 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln Ich lerne die Begriffe Differenzenquotient, differenzierbare Funktion und Ableitung einer differenzierbaren Funktion kennen. Ich lerne den Differenzenquotienten und Differentialquotienten als Änderungsraten zu verstehen, damit Aufgaben zu lösen und die Lösung zu interpretieren. Ich lerne Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen zu differenzieren. Ich lerne Rechenregeln für die Differentialrechnung kennen und damit viele weitere Funktionen zu differenzieren. Ich lerne differenzierbare Funktionen lokal durch lineare Funktionen anzunähern und Tangenten an ihre Graphen zu berechnen. Differenzenquotienten Wenn eine Radfahrerin in zwei Stunden 50 km zurückgelegt hat, dann sagen wir, dass sie mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km/h unterwegs war. Wir können daraus nicht schließen, dass sie immer gleich schnell war. Vermutlich ist die Radfahrerin während dieser zwei Stunden manchmal schneller, manchmal langsamer gefahren und hat vielleicht auch einmal ein paar Minuten gerastet. Der Graph der Funktion s vom Intervall [0; 2] nach R , die jedem Zeitpunkt t (in Stunden gemessen) die bis dahin zurückgelegte Wegstrecke s(t) (in km) zuordnet, könnte ungefähr so wie in der Abbildung rechts aussehen. Die Strecke zwischen (0 1 0) und (2 1 50) wäre der Graph der Funktion s, wenn die Radfahrerin immer gleich schnell gewesen wäre. Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die zwei Stunden haben wir als den Quotienten ​  s(2) – s(0) __ 2 – 0  ​berechnet, diese Zahl ist die Steigung der Geraden durch (0 1 0) und (2 1 50). Wollen wir die Geschwindigkeit der Radfahrerin genauer beschreiben, dann messen wir den in kleineren Zeiteinheiten zurückgelegten Weg, zum Beispiel nach jeder Viertelstunde, nach jeder Minute oder sogar nach jeder Sekunde. Die Durchschnittsgeschwindigkeit (in km/h) zwischen den Zeitpunkten a und b wäre dann der Differenzenquotient ​  s(b) – s(a) __ b – a  ​. Den Differenzenquotienten haben wir schon für Polynomfunktionen kennengelernt. Wir definieren ihn nun für beliebige Funktionen f von M nach R , wobei M eine Teilmenge von R ist. Es besteht (fast) kein Unterschied zur Definition für Polynomfunktionen: Für eine Funktion f: M ¥R und ein Intervall [a; z] (wenn a < z ist) oder [z; a] (wenn z < a ist), das in M enthalten ist, nennen wir die Zahl ​  f(z) – f(a) __ z – a  ​ den Differenzenquotienten von f oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; z] (wenn a < z ist) oder [z; a] (wenn z < a ist). Der Differenzenquotient kann geometrisch interpretiert werden: Er ist die Steigung der Geraden durch die Punkte (a 1 f(a)) und (z 1 f(z)) des Graphen von f. Eine solche Gerade schneidet den Graphen von f (mindestens) in diesen zwei Punkten und heißt daher Sekante . t[h] s[km] 0,5 0 1 1,5 2 0 20 40 50 30 10 s(2) – s(0) (2 1 50) (0 1 0) t[h] s[km] a 0 b 1,5 2 0 20 40 50 30 10 (2 1 50) (0 1 0) s(b) – s(a) Differenzen- quotient Sekante Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv