Mathematik HTL 3, Schulbuch

54 Differentialrechnung 194 a. Berechne, für welche Argumente z die Steigung des Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,5x 3 + 0,5x 2 – 3x an der Stelle t gleich 0 ist. b. Zeichne die Graphen der Funktion und der Tangenten an den in Aufgabe a. berechneten Stellen in ein gemeinsames Koordinatensystem. 195 Gegeben sind eine Polynomfunktion f und eine lineare Funktion h. Gibt es reelle Zahlen a so, dass der Graph der linearen Funktion h die Tangente der gegebenen Polynomfunktion an der Stelle a ist? Berechne. a. f(x) = 0,5x 3 + x 2 – 3x + 2; h(x) = 4,5x + 20 c. f(x) = x 2 – 2x – 5; h(x) = ‒10x – 21 b. f(x) = ‒ x 3 + 2x 2 – x + 1; h(x) = 9 – 5x d. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 – 3x + 4; h(x) = 6 – 5x 196 Beurteile, welche der linearen Funktionen h Tangenten an die Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – ​  3 _ 2 ​x 2 – 3x + 4 sind. Begründe durch Rechnung. A  h(x) = ​  3 _ 2 ​x + ​  13 _ 2  ​ B  h(x) = ‒ ​  9 _ 2 ​x + 1 C  h(x) = 2 – 3x D  h(x) = ​  3 _ 2 ​x – 5 197 Zeige durch Nachrechnen, dass für jede quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c die Menge {(z 1 f(z)) + t·(1 1 2az + b) ‡ t * R } die Tangente von f an der Stelle z ist. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann Polynomfunktionen lokal durch lineare Funktionen annähern und Tangenten an ihre Graphen berechnen. 198 Bestimme die lineare Näherung h der Polynomfunktion f mit f(x) = 2x 2 + 3x + 4 an der Stelle ‒1. Berechne damit näherungsweise den Funktionwert von f an den Stellen ‒1,01 und ‒ 0,99. 199 Berechne die lineare Näherung h der Funktion f mit f(x) = 0,4x 3 – 2x 2 + 3,8x – 1 an der Stelle 2, a. indem du f(x) = f((x – 2) + 2) als f(2) + c·(x – 2) + u(x)·(x – 2) 2 schreibst. b. indem du die Rechenregeln für die Berechnung der Ableitung anwendest. 200 Die Grafik zeigt einen Funktionsgraphen, bei dem an einigen Stellen die Steigung der Tangente dargestellt ist. Skizziere so gut wie möglich den Graphen der ersten Ableitung. 201 Berechne eine Gleichung der Tangente der Polynom­ funktion f mit f(x) = 0,5x 3 – 0,8x 2 – 2x + 2 an der Stelle 2. 202 Ermittle eine Gleichung der Tangente des Graphen der Funktion f: R ¥ R , z ¦ 2z 2 – 3z + 1 im Punkt (2 1 f(2)). Ich kenne Rechenregeln für die Differentiation von Polynomfunktionen und verstehe ihre Herleitung. 203 Ermittle die Ableitung der Polynomfunktion. a. f mit f(x) = 5x 3 + x 2 – 2x + 1 b. f mit f(x) = (x 2 – 2x)·(5x – 7) c. V mit V(a) = ​  1 _ 3 ​·a 2 ·h 204 Zeige, dass die Ableitung der Differenz zweier Polynomfunktionen gleich der Differenz der Ableitungen der beiden Polynomfunktionen ist. B B, C  ggb f52r5i B, D D B B A, B, C x y 0 - 2 - 4 2 4 4 8 6 2 - 2 B B B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv