Mathematik HTL 3, Schulbuch

53 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen 186 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = a n x n + … + a 2  x 2 + a 1  x + a 0  . Zeige, dass die Tangente von f an der Stelle 0 die Lösungsmenge der Gleichung a 1  x – y = ‒a 0 ist. 187 Berechne eine Gleichung der Tangente der Polynomfunktion f an der Stelle 0. Stelle sowohl den Funktionsgraphen als auch die Tangente in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. a. f(x) = x 2 + x + 2 b. f(x) = x 3 – 2x 2 + 0,5x + 1 c. f(x) = 0,2x 4 – 0,4x 3 + 0,5x 2 – 2x – 1 188 Berechne je eine Parameterform und je eine Gleichung der Tangenten der Polynomfunktion f an den Stellen ‒2, ‒1, 0, 1, 2. Zeichne die Tangenten in ein Koordinatensystem und versuche damit, den Graphen der Polynomfunktion über dem Intervall [‒2; 2] zu skizzieren. a. f(x) = ​  1 _ 3 ​x 3 + x 2 + x + 1 c. f(x) = ​  1 _ 3 ​x 3 – x + 1 e. f(x) = ​  1 _ 3 ​x 3 – ​  1 _ 2 ​x 2 + ​  1 _ 4 ​x – ​  1 _ 2 ​ b. f(x) = ​  1 _ 3 ​x 3 – x 2 + x – 2 d. f(x) = ​  1 _ 3 ​x 3 + ​  1 _ 2 ​x 2 + ​  1 _ 4 ​x + 3 f. f(x) = ​  1 _ 4 ​x 4 – x 3 + x + 1 189 Zeichne auf einem Zeichenblatt einige Geraden und Graphen von Polynomfunktionen. Schneide aus einem zweiten, größeren Blatt einen kleinen Kreis aus. Überdecke damit das Zeichenblatt so, dass deine Banknachbarin oder dein Banknachbar nur ein kleines Stück (durch den ausgeschnittenen Kreis) eines dieser Graphen sieht. Sie oder er soll entscheiden, ob es zu einer Gerade gehört oder nicht. Da in einer kleinen Umgebung eines Punktes der Graph einer Polynomfunktion fast so aussieht wie seine Tangente, wird die Entscheidung umso schwieriger, je kleiner der Durchmesser des Kreises ist. Verändere den Durchmesser und notiere dabei jedes Mal die Anzahl der richtigen Antworten. 190 Ordne dem Graphen der Funktionen den Graphen ihrer Ableitung zu. a. b. c. d. A B C D 191 In welchen Punkten des Graphen der Funktion beträgt die Steigung der Tangente k? a. a: R ¥ R , z ¦ z 3 + 3z 2 + z – 3; k = 10 c. c: R ¥ R , y ¦ y 3 + 2y 2 – 4y + 1; k = 2 b. b: R ¥ R , t ¦ t 3 + 6t 2 + 2t – 5; k = 17 d. d: R ¥ R , u ¦ 5u 3 + 2u 2 – u + 2; k = 5 192 Ermittle die Gleichungen aller Tangenten der Polynomfunktion f mit der angegebenen Steigung k. a. f(x) = x 2 + 4x + 4; k = 0 c. f(x) = x 2 – x 3 – 0,5x 4 ; k = 0 b. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + x 3 ; k = 1 d. f(x) = 5x 2 – x; k = ​  1 _ 2 ​ 193 Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 0,1x 3 + 0,75x 2 – 2x – 7 und g mit g(x) = 0,45x 2 + 2,5x + 4. Berechne alle Argumente z für die f’(z) = g’(z) ist. Stelle die Graphen von f und g zusammen mit den Tangenten an den berechneten Stellen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. D B B  ggb 263r5u C  ggb bd2e8r C  ggb gx76qa x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 x y 0 - 4 4 - 4 4 B B B Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv