Mathematik HTL 3, Schulbuch

51 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen Wenn z sehr nahe bei a liegt, wird die Sekante in einer kleinen Umgebung von (a 1 f(a)) dem Graphen von f sehr ähnlich. Die Gerade durch den Punkt (a 1 f(a)) mit Steigung f’(a) ist die Gerade, die in einer kleinen Umgebung von (a 1 f(a)) dem Graphen am ähnlichsten ist. Wir nennen sie die Tangente des Graphen von f im Punkt (a 1 f(a)) oder die Tangente von f an der Stelle a (nach dem lateinischen Wort für berühren: tangere). Die Tangente ist der Graph von h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a), der linearen Näherung von f an der Stelle a. Diese Tangente enthält den Punkt (a 1 f(a)) und ihre Steigung ist f’(a). 177 Berechne eine Parameterform und eine Gleichung der Tangente des Graphen der Polynom­ funktion f mit f(x) = x 3 + 3x 2 – x + 2 an der Stelle 1. Weil für alle Zahlen x f’(x) = 3x 2 + 6x – 1 ist, ist die Ableitung an der Stelle 1 gleich f’(1) = 3·1 2 + 6·1 – 1 = 8. Die gesuchte Tangente ist also die Gerade mit Steigung 8 durch den Punkt (1 1 1 3 + 3·1 2 – 1 + 2) = (1 1 5). Jede Gerade mit Steigung 8 ist parallel zur Geraden {t·(1 1 8) ‡ t * R }, also ist {(1 1 5) + t·(1 1 8) ‡ t * R } eine Parameterform der Tangente. Diese Menge ist die Lösungsmenge der Gleichung 8x – y = 8·1 – 5, also von 8x – y = 3. Wir können diese Gleichung auch ermitteln, indem wir zuerst die lineare Näherung h von f an der Stelle 1 berechnen: h(x) = f(1) + f’(1)·(x – 1) = 5 + 8·(x – 1) = 5 + 8x – 8 = 8x – 3 Der Graph von h ist die Tangente von f an der Stelle 1, dieser ist die Lösungsmenge der Gleichung y = 8x – 3. 178 Berechne die Steigung der Tangente der Polynomfunktion f an der Stelle a und eine Parameter­ form dieser Geraden. a. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 ; a = 2 d. f(x) = 5x 3 + ​  1 _ 2 ​x 2 ; a = 1,8 g. f(x) = (5 – x) 2 ; a = ‒ 3 b. f(x) = ‒ ​  1 _ 4 ​x 3 ; a = ‒1 e. f(x) = x·(x + 2); a = ​  7 _  10  ​ h. f(x) = ​ 2  ​  1 _ 2 ​+ ​  1 _ 4 ​x  3 ​ 3 ​; a = ‒ 0,1 c. f(x) = 4x 2 – 1; a = 0,5 f. f(x) = 3x·(x 2 + 4); a = ‒ ​  3 _ 8 ​ i. f(x) = 3x 2 + x·(x – 1) 2 ; a = 5,3 179 Löse Aufgabe 178 mithilfe eines CAS. 180 Bestimme eine Gleichung der Tangente der Funktion an der Stelle s. a. a: R ¥ R , z ¦ z 2 + 2z + 1; s = 1 c. c: R ¥ R , u ¦ ​  1 _ 2 ​u 3 – ​  1 _ 4 ​u 2 + u; s = ​  1 _ 2 ​ b. b: R ¥ R , t ¦ 3t 3 – t + 4; s = ‒ 2 d. d: R ¥ R , w ¦ ‒ ​  1 _ 3 ​w 2 – ​  1 _ 5 ​w; s = ‒ ​  5 _ 4 ​ 181 Ermittle für die Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – 3x 2 + ​  3 _ 2 ​x + 5 Gleichungen der Tangenten in den Punkten (1 1 f(1)) und (4 1 f(4)). Stelle dann die Graphen der Funktion und der Tangenten in diesen Punkten im gleichen Diagramm dar. 182 Gib eine Gleichung der Tangente des Graphen der Funktion im Punkt P an. a. a: R ¥ R , t ¦ 3t 2 – 2t – 3; P = (1 1 a(1)) c. c mit c(r) = ‒ ​  1 _ 2 ​r 2 + 5r – 7; P = ​ 2  ‒ ​ ​  ​  1 _  2 ​  1  ​c​ 2 ‒ ​  1 _  2 ​  3 ​  3 ​ b. d mit d(r) = ​  1 _ 3 ​r 3 – 2r 2 + r – 1; P = (‒ 2 1 d(‒ 2)) d. b: R ¥ R , t ¦ 2t 2 – 4t – 5; P = (3 1 b(3)) 183 Löse Aufgabe 182 mithilfe eines CAS oder einer DGS. Tangente des Graphen einer Polynom­ funktion x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 -1 1 2 3 B eine Parameter­ form und eine Gleichung einer Tangente berechnen  ggb/mcd/tns xm7gt7 B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv