Mathematik HTL 3, Schulbuch

50 Differentialrechnung Die Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten Wir betrachten eine Polynomfunktion f und Zahlen a und z. Die Zahl ​  f(z) – f(a) __ z – a  ​ ist der Quotient der Differenz f(z) – f(a) der Funktions­ werte von f und der Differenz z – a der entsprechen­ den Argumente. Sie heißt Differenzenquotient von f in [a; z] (wenn a < z ist) oder [z; a] (wenn z < a ist). Der Differenzenquotient kann geometrisch interpre­ tiert werden: Er ist die Steigung der Geraden durch die Punkte (a 1 f(a)) und (z 1 f(z)) des Graphen von f. Eine solche Gerade schneidet den Graphen von f (mindestens) in diesen zwei Punkten und heißt daher Sekante (nach dem lateinischen Wort für schneiden: secare). Wir betrachten eine Polynomfunktion f und eine Zahl a. Dann ist für alle reellen Zahlen x f(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + u(x)·(x – a) 2 , wobei u eine geeignete Polynomfunktion ist. Dann ist für alle reellen Zahlen x f(x) – f(a) = (f’(a) + u(x)·(x – a))·(x – a). Daher ist f(x) – f(a) = (f’(a) + u(x)·(x – a))·(x – a) und ​  f(x) – f(a) __ x – a  ​= f’(a) + u(x)·(x – a) ist der Differenzenquotient von f in [a; x] (wenn a < x ist) oder [x; a] (wenn x < a ist). Im Kapitel 1 haben wir Grenzwerte von Funktionen kennengelernt. Wir wissen: Wenn an einer Stelle a der Grenzwert von zwei Funktionen existiert, dann existieren auch die Grenzwerte ihrer Summe und ihres Produktes. Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist dann die Summe der Grenzwerte der Summanden. Der Grenzwert des Produktes von Funktionen ist das Produkt der Grenzwerte der Faktoren. Daher ist ​ lim    x ¥ a ​ ​  f(x) – f(a) __ x – a  ​= ​ lim    z ¥ a ​((f’(a) + u(x)·(x – a)) = ​ lim    z ¥ a ​f’(a) + ​ lim  z ¥ a ​(u(x)·(x – a)) = = f’(a) + (​ lim    x ¥ a ​u(x))·(​ lim  x ¥ a ​(x – a)) = f’(a) + u(a)·0 = f’(a). Wir können die Ableitung einer Polynomfunktion daher auch als Grenzwert der Differenzen­ quotienten in [a; x] oder [x; a] betrachten, wenn z gegen a geht. Es ist f’(a) = ​ lim    z ¥ a ​ ​ 2  ​  f(z) – f(a) __ z – a  ​  3 ​ , daher ist die Ableitung von f an der Stelle a der Grenzwert der Differenzenquotienten von f in [a; z] (wenn a < z ist) oder [z; a] (wenn z < a ist) für z gegen a. Man nennt die Ableitung von f an der Stelle a auch den Differentialquotienten von f an der Stelle a .  ggb g7h4vb Differenzen- quotient x y 0 2 1 -1 3 4 4 2 3 1 -1 (z 1 f(z)) (a 1 f(a)) k Sekante Differential­ quotient einer Polynom­ funktion f an einer Stelle a x y (z 2 1 f(z 2 )) (z 1 1 f(z 1 )) (z 3 1 f(z 3 )) (a 1 f(a)) ≈ f’(a) 0 1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv