Mathematik HTL 3, Schulbuch

5 Ein Blick ins Buch Zahlreiche Aufgaben in den unterschiedlichsten Formaten bereiten auf die Zentralmatura vor. Für Aufgaben, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, ist ein Technologieeinsatz empfehlenswert. Aufgaben mit dem Symbol eignen sich besonders gut für Partner- oder Gruppenarbeiten . Am Ende jedes Abschnitts können in „ Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? “ die Kompetenzen mit Selbst­ kontrollaufgaben überprüft werden. Die Lösungen zu diesen Aufgaben befinden sich im Buch auf den Seiten 263 – 270. Die Handlungskompetenzen der Bildungsstandards sind jeder Aufgabe vorangestellt. Die Standardmatrix ist auf der letzten Seite des Buches abgebildet. Am Ende jedes Kapitels gibt eine Zusammenfassung einen Überblick über die wichtigsten Aussagen des Kapitels. Mit zusammenfassenden Aufgaben können im Anschluss die Inhalte des gesamten Kapitels noch einmal losgelöst von den Theorieabschnitten gefestigt werden. 171 3.3 Dasbestimmte Integral 793 EinMotorradfahrerwar zweiMinutenunterwegs.SeineGeschwindigkeit zurZeit tMinutenwar ungefähr v(t)= ‒60·t 2 + 120tkm/h.Berechne seinedurchschnittlicheGeschwindigkeitwährend dererstenMinuteundwährendderersten zweiMinuten.Bestimme,wie vielKilometerder Motorradfahrer zurückgelegthat. DiedurchschnittlicheGeschwindigkeitwährendder erstenMinutewar 1 _ 1 –0 : 0 1 v(t)dt = ‒20t 3 +60t 2 1 0 1 = (‒20·1 3 +60·1 2 ) – (‒20·0 3 +60·0 2 )= 40km/h, diewährendderersten zweiMinutenwar 1 _ 2 –0 : 0 2 v(t)dt= 1 _ 2 (‒20t 3 +60t 2 ) 1 0 2 = 1 _ 2 (‒20·2 3 +60·2 2 ) – 1 _ 2 (‒20·0 3 +60·0 2 ) =40km/h. DerMotorradfahrerhat in zweiMinutendaher 2· 40 _ 60 = 1,33km zurückgelegt. 794 Ein FahrzeugbeschleunigtbeimStart 10s langmit 1,5m/s 2 . a. Die Funktion vordnet jederZahl tdieGeschwindigkeitdes Fahrzeugs inm/snach tSekunden zu.Bestimme v(t). b. ZeichnedenGraphendieser Funktion. c. Berechne,welcheGeschwindigkeit in km/hdas Fahrzeugnach 10serreichthat. d. Ermittle,wiegroßdiedurchschnittlicheGeschwindigkeitwährendder erstenHälftebzw. währendder zweitenHälftederBeschleunigung ist. 795 DieBeschleunigungeinesZeitfahrers tSekundennachdemStartbei einemBahnradrennen ist annähernda(t) = 9t 2 ·e ‒t m/s 2 . a. Berechne, zuwelchemZeitpunktdasRennraddiemaximaleBeschleunigung erzielt,undgib diemaximaleBeschleunigung inm/s 2 an. b. Gibdie Funktion van,die jedemZeitpunkt tdieGeschwindigkeit inm/s zuordnet. Dabei soll v(0)= 0 sein. c. Gibdie Funktion san,die jedemZeitpunkt tdenbislang zurückgelegtenWeg inm zuordnet. Dabei soll s(0) = 0 sein. d. ErmittleausdeinemResultat vonAufgabe c. ,wie langederRadrennfahrer für seinen ersten Kilometerbenötigt.Wiegroß ist seineDurchschnittsgeschwindigkeitaufdieserStrecke? 796 EinPKWbeschleunigtungleichmäßigausdemStillstand.Nach5shat ereineGeschwindigkeit von 9m/sundnach 10seineGeschwindigkeit von22m/s. a. BeschreibedieGeschwindigkeitdesPKWnäherungsweisedurcheinequadratische Funktion. b. ZeichnedenGraphender Funktion. c. ErmittlediedurchschnittlicheGeschwindigkeit in km/hwährendder ersten 10 Fahrsekunden. 797 ImDiagramm sinddie Füllstände zweier Regenwassertonnenan zweiunterschiedlichenTagen beschrieben (blauund rot). Diskutiert, inwelcherRegentonne imSchnittmehr Wasserwar.BegründeteureEntscheidung. A,B mcd/tns jg88hs Durchschnitts- geschwindig- keitberechnen A,B A,B A,B C,D Zeit [min] Inhalt[l] 0 100 400 500 600 200 300 0 100 200 400 300 HTL_3.indb 171 25.06.2013 14:11:01 200 Zusammenfassung Einedifferenzierbare Funktion Fheißt Stammfunktion einer Funktion f,wenn fdieAbleitung von F ist.Oft schreibtman : f(t)dt für eineStammfunktion,wobei statt tauch einbeliebiges anderesZeichen verwendetwerden kann.Die Funktion fheißtdannder Integrand und eine Stammfunktion Fein (unbestimmtes) Integral von f. Ist F eineStammfunktion von f,dann istauch F+ c,wobei ceine konstante Funktion ist,eine Stammfunktion von f. : t r dt = 2 1 _ r+ 1 3 t r+ 1 + c : 1 _ t dt= ln(t)+ c : e t dt =e t + c : a t dt= 1 _ ln(a) a t + c : sin(t)dt = ‒cos(t)+ c : cos(t)dt= sin(t)+ c Für integrierbare Funktionen fundggilt: Summenregel: : (f±g)(t)dt= : f(t)dt± : g(t)dt+ c Faktorregel: : (a·f)(t)dt =a· : f(t)dt+ c Partielle Integration: : (f·g’)(t)dt= : (f·g)’(t)dt – : (f’·g)(t)dt+ c = f·g – : (f’·g)(t)dt+ c Ist f: [a;b] ¥R eine stetige Funktion,dann konvergierendie Folgen ihrerUntersummenund ihrerObersummengegendengleichenGrenzwert.Dieserwirdmit : a b f(t)dt bezeichnetundheißtdas bestimmte Integral von füberdem Intervall [a;b]oder kurzdas Integral von f vonabisb. Wenn f stetig istundaufdem Intervall keinenegativen Funktionswertehat,dannnennenwir : a b f(t)dt die FlächederMenge zwischendem Intervall [a;b]unddem Graphen von f.Wenn f stetig istundaufdem Intervall keine positiven Funktionswertehat,dannnennenwir | : a b f(t)dt | die FlächederMenge zwischendem Intervall [a;b]und demGraphen von f. Füra< c<bgilt: : a b f(t)dt= : a c f(t)dt+ : c b f(t)dt. Stammfunktion wichtige Stamm- funktionen Integrations- regeln bestimmtes Integral Fläche x y 0 -1 1 b a 1 x y 0 -1 1 -1 b a HTL_3.indb 200 25.06.2013 14:11:22 153 3.2 Rechenregeln fürdie Integration Somit ist 3x+ 4 __ x 2 + x –6 = 2 _ x –2 + 1 _ x+3 und : 3x+ 4 __ x 2 + x –6 dx = : 2 _ x –2 dx+ : 1 _ x+3 dx. Daher istdie Funktion Fmit F(t) =2·ln † t –2 † + 1·ln † t+3 † + c eineStammfunktion von fmit f(x) = 3x+ 4 __ x 2 + x –6 . 714 FindediePartialbruchzerlegungder rationalen Funktion f. a. f(x) = 4 __ (x –2)(x+2) b. f(x)= 2x __ (x –3)(x+5) c. f(x) = 3x+2 __ (x –2)(x+ 1) d. f(x) = 7x – 1 __ (x –3)(x+ 1) 715 FindediePartialbruchzerlegungder rationalen Funktion f. a. f(x) = 1 __ x 2 + x – 12 b. f(x) = x __ x 2 +2x –3 c. f(x) = 2x –5 __ x 2 + x – 12 d. f(x) = 8x+3 __ 4x – x 2 +5 716 Finde eineStammfunktionder rationalen Funktion fmithilfederPartialbruchzerlegung. a. f(x) = 3 __ (x – 1)(x+ 1) b. f(x) = 2 __ (x –5)(x+ 4) c. f(x) = 5x __ (x – 1)(x+3) d. f(x) = x+2 __ (x+3)(x+ 1) 717 BerechneeineStammfunktionder rationalen Funktion fmithilfederPartialbruchzerlegung. a. f(x) = 10x+ 11 __ x 2 + x –2 b. f(x) = 3x+ 11 __ ‒x 2 +2x+3 c. f(x)= 4x – 1 __ ‒x 2 +3x+ 4 d. f(x) = 8x+20 __ x 2 +2x –35 718 Berechnedasunbestimmte Integral. a. : 4x+ 1 __ x 2 – x –2 dx b. : x – 9 __ x 2 –3x – 4 dx c. : 2x – 17 __ x 2 +3x – 4 dx d. : 6x –2 __ x 2 –2x –3 dx 719 LöseAufgabe718auchmithilfe einesCAS.NützedafürauchdieBefehle zurPartialbruch- zerlegung.VergleichedieErgebnissedesCASmitden vondirermitteltenErgebnissen. Washabe ich in diesemAbschnitt gelernt? IchkenneRechenregeln fürdie Integrationund verstehe ihreHerleitung. 720 Giban,welcheRechenregeln zurBestimmungeinerStammfunktionder Funktion verwendet werdenmüssen. a. fmit f(t)= sin(3t) c. hmith(t) = e t ·sin(2t) b. gmitg(t)= t 2 ·cos(t) d. kmit k(t)=3t 3 +2·ln(2t+5) 721 GibeineRechenregel zurBerechnungderStammfunktionderDifferenz f –g zweier Funktionen fundg,derenStammfunktionenbekannt sind,an.Begründe. IchkannRechenregeln fürdie Integrationnützen,umStammfunktionen vielerweiterer Funktionen zuberechnen. 722 Giban,welche Funktion FeineStammfunktionder Funktion fmit f(x)= x·e x ist.Begründe. A F(x) = x·e x – 1 B F(x)= x·e x – x C F(x) = x·e x –e x – 1 D F(x) = 1 _ 2 x 2 ·e x 723 Finde eineStammfunktionder Funktion fmit f(t)=e 5t ,dieden Funktionswert2ander Stelle ‒ 1 _ 5 hat. 724 BerechneeineStammfunktionder rationalen Funktion fmit f(x) = 5 __ x 2 + x –6 . B B B B B B,C C C,D B,D B B HTL_3.indb 153 25.06.2013 14:10:45 Handlungsdimension Inhaltsdimension Die charakteristischen mathematischen Tätigkeiten sind A Modellierenund Transferieren B Operierenund Technologieeinsatz C Interpretierenund Dokumentieren D Argumentierenund Kommunizieren 1 ZahlenundMaße … für eine Problemstellungmit ZahlenundMaßen eingeeignetes Modell findenund einenTransfer in andereBereiche durchführen. …mitZahlenund Maßenoperieren und situations­ gerecht technische Hilfsmitteleinset­ zen. …ZahlenundMaße in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. …mithilfe von ZahlenundMaßen argumentierenund kommunizieren. 2 Algebraund Geometrie … füreineProblem­ stellungmithilfe derAlgebraund Geometrie eingeeig­ netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …mitalgebrai­ schenundgeomet­ rischenObjekten operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ teleinsetzen. …algebraischeund geometrischeObjek­ te in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederAlgebra undGeometrie argumentierenund kommunizieren. 3 Funktionale Zusammenhänge … eingeeignetes Modell für einen funktionalenZusam­ menhang finden und einenTransfer inandereBereiche durchführen. …mit funktionalen Zusammenhängen operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ tel einsetzen. … funktionale Zusammenhänge interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … funktionale Zusammenhänge argumentierenund kommunizieren. 4 Analysis … für eineProblem­ stellungmithilfeder Analysis eingeeig­ netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …Operationen in derAnalysis durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ tel einsetzen. …Zusammenhänge inderAnalysis interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederAnalysis argumentierenund kommunizieren. 5 Stochastik … für eineProblem­ stellungmithilfeder Stochastik ein geeignetesModell findenundeinen Transfer inandere Bereichedurch­ führen. …Operationen in derStochastik durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ tel einsetzen. …Zusammenhänge inderStochastik interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederSto­ chastikargumentie­ renund kommuni­ zieren. * „DieStandardmatrix“derBildungsstandards fürberufsbildendehöhereSchulendesösterreichischen Bundesministeriu s fürUnterricht,KunstundKultur Die Standardmatrix* Mathe_BHS_Musterlayout_09-2011_End.indd 77 10.10.2011 11:35:58 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv