Mathematik HTL 3, Schulbuch

49 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen Die Ableitung des Produktes f·g zweier Polynomfunktionen ist die Summe des Produktes der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion und des Produktes der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten, also ist für alle reellen Zahlen a (f·g)’(a) = f’(a)·g(a) + f(a)·g’(a) . Kurz: (f·g)’ = f’·g + f·g’ . 167 Berechne die Ableitung von h mit h(x) = (x 4 + x 2 + 1)·(x 2 – x + 2). Die Funktion h ist das Produkt der Funktionen f und g mit f(x) = x 4 + x 2 + 1 und g(x) = x 2 – x + 2. Wegen f’(x) = 4x 3 + 2x und g’(x) = 2x – 1 ist h’(x) = (4x 3 + 2x)·(x 2 – x + 2) + (x 4 + x 2 + 1)·(2x – 1) = 6x 5 – 5x 4 + 12 x 3 – 3 x 2 + 6x – 1. Wir hätten auch zuerst (x 4 + x 2 + 1)·(x 2 – x + 2) ausmultiplizieren und dann differenzieren können, der Aufwand dafür wäre aber größer gewesen. 168 Berechne die Ableitung mithilfe der Produktregel. Überprüfe das Ergebnis durch Ausmultipli zieren und anschließendes Differenzieren. a. h mit h(x) = x 2 (x 2 + x + 1) c. h mit h(x) = (2x + 4)(3x – 2) e. h mit h(x) = 2    1 _ 2 x – x 2 3 (2x – x 2 ) b. h mit h(x) = 3x(x 3 + 2x + 4) d. h mit h(x) = (x 2 + 1)(x 2 – 1) f. h mit h(x) = 2 3x 2 –   x _ 2   3 (x + 5x 2 ) 169 Löse Aufgabe 168 mithilfe eines CAS. Vergleiche die Ergebnisse mit den händisch ermittelten Lösungen und analysiere die Unterschiede. 170 Welche der Behauptungen ist für f mit f(x) = (3x 2 + 1)·(6x 3 + x) richtig? Begründe durch Rechnung. A f’(x) = 6x·(18x 2 + 1) C f’(x) = 6x(6x 3 + x) + (3x 2 + 1)·(18x 2 + 1) B f’(x) = 6x(6x 3 + x) + (3x 2 + 1)·18x 2 D f’(x) = 6x(3x 2 + 1) + 18x 2 (6x 3 + x) 171 Ermittle die Ableitung der Polynomfunktion f. a. f(x) = 2x c. f(x) = x·(3x + 2) e. f(x) = x·(x – 1) g. f(x) = (3x + 2) 2 b. f(x) = 5x 2 d. f(x) = x·(8x + 5) + 1 f. f(x) = 2x·(x + 1) h. f(x) = (7 – 3x) 2 172 Zeige, durch das mehrfache Anwenden der Produktregel, dass für beliebige Polynomfunktionen f, g und h gilt: (f·g·h)’ = f’·g·h + f·g’·h + f·g·h’ 173 Berechne mithilfe der Produktregel die Ableitung der Funktion f. a. f(x) = (x + 1) 3 b. f(x) = (2x + 1) 3 c. f(x) = (3x + 2) 3 d. f(x) = (2x – 1) 4 174 Arbeitet paarweise. Jede / jeder sucht zunächst ein Produkt von zwei Polynomen aus und übergibt es der Partnerin / dem Partner zur Berechnung der Ableitung. Kontrolliert das Ergebnis wechselseitig durch Ausmultiplizieren und Ableiten. 175 Ermittle die Ableitung der Funktion. a. A mit A(r) = r 2 · π c. F mit F(m 1 ) =   Gm 1 m 2 _ r 2 e. A mit A(c) =   q·c·(2b + c) __ 2L  b. U mit U(I) = R·I d. s mit s(t) = s 0 + v 0 t +   1 _ 2 at 2 f. σ mit σ (F max ) =   3F max l s _ 2bh 2 176 Ermittle die Ableitung der Funktion. a. V mit V(h) = r 2 · π ·h c. I mit I(h) =   1 _  12 ·BH 3 –   1 _  12 ·bh 3 e. O mit O(r) = 2r π (r + h) b. O mit O(r) = r π (r + s) d. V mit V(r 1 ) =   1 _ 3 · π hr 1 (r 1 + r 2 ) +   1 _ 3 · π hr 2 f. M mit M(r) = (R + r) π ·m Produktregel B die Ableitung mithilfe der Produktregel berechnen ggb 95ra72 B B, C B, D B D B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv