Mathematik HTL 3, Schulbuch

43 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen Können wir ebenso einfach die Funktionswerte von f an Stellen „nahe bei 1” berechnen? Erinnern wir uns: Wenn wir das Polynom f mit Rest durch das Polynom p mit p(x) = x – 1 dividieren, erhalten wir ein Polynom m mit der Eigenschaft, dass für alle Zahlen x f(x) = m(x)·(x – 1) + f(1) ist. Dividieren wir dann m mit Rest durch p, erhalten wir ein Polynom u mit m(x) = u(x)·(x – 1) + m(1), also ist f(x) = m(x)·(x – 1) + f(1) = (u(x)·(x – 1) + m(1))·(x – 1) + f(1) = = f(1) + m(1)·(x – 1) + u(x)·(x – 1) 2 . Anstatt diese zwei Divisionen mit Rest durch p durchzuführen, können wir f(1), m(1) und u(x) auch berechnen, indem wir f(x) = f((x – 1) + 1) schreiben, dann ausmultiplizieren und schließlich die Koeffizienten von Potenzen von (x – 1) zusammenfassen. Für f(x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 4 schreiben wir also f(x) = f((x – 1) + 1) = ((x – 1) + 1) 3 – 2((x – 1) + 1) 2 + 3((x – 1) + 1) – 4 = = [(x – 1) 3 + 3(x – 1) 2 + 3(x – 1) + 1] – 2[(x – 1) 2 + 2(x – 1) + 1] + 3((x – 1) + 1) – 4 = = ‒ 2 + 2(x – 1) + x·(x – 1) 2 , daher ist f(1) = ‒ 2, m(1) = 2 und u(x) = x. Nun ist f(1,010) = 1,010·(0,010) 2 – 0,020 – 2 ≈ ‒0,020 – 2 = ‒2,020, das ist der Funktionswert von h = 2p – 2 an der Stelle 1,010. In einer kleinen Umgebung von 1 wird f also durch die lineare Funktion h mit h(x) = 2(x – 1) – 2 gut angenähert. Wir nennen daher h die lineare Näherung von f an der Stelle 1 und die Zahl 2 die Ableitung von f an der Stelle 0. Für jede reelle Zahl a können wir jede Polynomfunktion f in der Form f(x) = f(a) + c·(x – a) + u(x)·(x – a) 2 anschreiben. Dabei ist c eine Zahl und u eine Polynomfunktion. Für Zahlen z, die genügend nahe bei a liegen, sind die Funktionswerte von f und von der linearen Funktion h mit h(x) = f(a) + c·(x – a) „fast” gleich. Die Zahl c nennen wir die Ableitung von f an der Stelle a und schreiben dafür f’(a) (sprich: „f Strich von a”). Die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) nennen wir die lineare Näherung von f an der Stelle a . Die Ableitung f’(a) ist die Steigung des Graphen dieser linearen Funktion. Die Funktion f’ (sprich: „f Strich”), die jeder Zahl a die Ableitung von f an der Stelle a zuordnet, heißt Ableitung von f. Die Polynomfunktion f differenzieren heißt, die Funktion f’ zu berechnen. 140 Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(t) = t 3 – 6t 2 + 4t + 3 an der Stelle 3 und die lineare Näherung von f an der Stelle 3. Es ist f(t) = f((t – 3) + 3) = ((t – 3) + 3) 3 – 6((t – 3) + 3) 2 ) + 4((t – 3) + 3) + 3 = = [(t – 3) 3 + 9(t – 3) 2 + 27(t – 3) + 27] – 6[(t – 3) 2 + 6(t – 3) + 9] + 4((t – 3) + 3) + 3 = = ‒12 – 5(t – 3) + t·(t – 3) 2 , also ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle 3gleich ‒ 5 und die lineare Näherung von f an der Stelle 3 ist die Funktion h mit h(t) = ‒12 – 5(t – 3). Ableitung und lineare Näherung einer Polynomfunktion an einer Stelle Ableitung einer Polynom­ funktion differenzieren B die Ableitung einer Polynom­ funktion an einer Stelle berechnen  ggb ec2q88 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv