Mathematik HTL 3, Schulbuch

42 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen Ich lerne Polynomfunktionen lokal durch lineare Funktionen anzunähern und Tangenten an ihre Graphen zu berechnen. Ich lerne die Rechenregeln für die Differentiation von Polynomfunktionen kennen und ihre Herleitung verstehen. Die Ableitung von Polynomfunktionen Polynomfunktionen oder kurz Polynome sind Summen von Vielfachen von Potenzfunktionen, also Funktionen der Art f: R ¥ R , x ¦ c 0 + c 1  x + c 2  x 2 + … + c n x n (n * N) . Dabei sind c 0  , c 1  , c 2  , …, c n vorgegebene reelle Zahlen, diese heißen die Koeffizienten der Polynomfunktion . Wenn c n ≠ 0 ist, ist n der Grad der Polynomfunktion. Wir haben Polynom­ funktionen schon im 1. Jahrgang kennengelernt. Beispiel: f mit f(x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 4 ist eine Polynomfunktion mit Grad 3, ihre Koeffizienten sind 1, ‒ 2, 3 und ‒ 4. Diese Funktion ordnet zum Beispiel der Zahl 0 die Zahl 0 3 – 2·0 2 + 3·0 – 4 = ‒4 und der Zahl 2 die Zahl 2 3 – 2·2 2 + 3·2 – 4 = 2 zu. Wir betrachten die Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 4 und die lineare Funktion h mit h(x) = 3x – 4. Dann ist f(x) = r(x) + h(x) mit r(x) = x 3 – 2x 2 . Wir wollen die Graphen von f und h über dem Intervall  ​ 4 ‒ ​  1 _  100 ​ ; ​  1 _  100 ​   5 ​bestimmen und berechnen dazu die Funktionswerte an den Stellen ‒0,010, ‒ 0,005, 0, 0,005 und 0,010. Wir runden alle Funktionswerte auf drei Stellen nach dem Komma. x f(x) gerundet h(x) ‒ 0,010 ‒ 4,03 ‒ 4,03 ‒ 0,005 ‒ 4,015 ‒ 4,015 0 ‒ 4 ‒ 4 0,005 ‒ 3,985 ‒ 3,985 0,010 ‒ 3,97 ‒ 3,97 Die gerundeten Funktionswerte der Polynomfunktion f und der linearen Funktion h sind gleich! Warum? Die Funktion f ist die Summe von r und von h. Die Funktionswerte von r sind an Stellen, die „nahe bei 0” sind, sehr klein. Berechnen wir zum Beispiel die dritte Potenz von 0,01, erhalten wir 0,000001 und nach dem Runden 0. Auch ‒2·(0,01) 2 = ‒ 0,0002 ergibt nach dem Runden auf drei Stellen nach dem Komma noch 0. Wenn wir die Funktionswerte von f und h für größere Argumente, zum Beispiel für 1, berechnen, dann sind diese nicht mehr gleich: f(1) = ‒ 2 und h(1) = ‒1. Wir sagen: „ in einer kleinen Umgebung von 0” oder „ lokal bei 0” wird die Polynomfunktion f durch die lineare Funktion h „ gut angenähert ”. Anstatt f in sehr kleinen Argumenten auszu­ werten, können wir das viel einfacher für h tun. Bis auf kleine Rundungsfehler erhalten wir dasselbe Ergebnis. Die Funktionswerte f(0) und h(0) stimmen sogar exakt überein. Wir nennen die lineare Funktion h mit h(x) = 3x – 4 die lineare Näherung der Funktion f an der Stelle 0 und die Zahl 3 die Ableitung von f an der Stelle 0. Polynom­ funktion Polynom Koeffizienten und Grad einer Polynom­ funktion  ggb 6fx4a8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv