Mathematik HTL 3, Schulbuch

40 Zusammenfassung: Konvergente Folgen und stetige Funktionen 128 Zeige, dass es im Intervall ​ 4 0; ​  π _  2 ​ 5 ​eine Zahl a gibt, mit 3·cos(a) = a. 129 Betrachte die rekursiv definierte Folge mit f 1 = 1, und f n + 1 = ​  ​f​ n ​ _  ​f​ n ​+ 2 ​ . a. Berechne mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 20 Glieder der Folge. b. Stelle den Graphen der Folge dar. c. Konvergiert die Folge? Stelle eine Vermutung auf und versuche, diese zu beweisen. 130 Gib an, welche der Folgen streng monoton wachsend sind. Begründe die Entscheidung. A  die arithmetische Folge mit Anfangsglied ​  1 _ 5 ​und Differenz ​  1 _ 2 ​ B  die geometrische Folge mit Anfangsglied 17 und Quotient ‒ ​  1 _ 2 ​ C  die arithmetische Folge mit Anfangsglied 1 und Differenz ‒ ​  1 _ 2 ​ D  die geometrische Folge mit Anfangsglied 5 und Quotient ​  5 _ 4 ​ 131 Beweise, dass die Folge ​ k  ​  1 + n _  2n 2 – n ​  l ​streng monoton fallend ist. Dabei beginnt die Folge mit n = 1. 132 Das radioaktive Element Cäsium 137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Das heißt, dass von 1 kg des Materials nach 30 Jahren nur noch 0,5kg vorhanden sind. Sei m n  kg die Masse, die nach n·30 Jahren noch vorhanden ist. a. Zeige, dass die Folge k m n l gegen 0 konvergiert. b. Ab welchem n ist das m n te Folgenglied kleiner als 0,1 g? Berechne. 133 Finde zwei verschiedene Folgen, die gegen 100 konvergieren. 134 Betrachte die Folge ​ k  ​  5 + n _  3n 2 – n ​  l ​ . a. Berechne mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 20 Glieder der Folge. b. Stelle den Graphen der Folge dar. c. Gib an, ab welchem n die Folgenglieder kleiner als 0,02 sind. 135 Ermittle den Grenzwert der geometrischen Reihe mit Anfangsglied 8 und Quotient ​  1 _ 2 ​ . 136 Ein Radfahrer legt am ersten Tag einer mehrwöchigen Radtour 80km zurück. Am zweiten Tag schafft er jedoch nur noch 90% der Strecke vom ersten Tag, am dritten nur noch 90% der Strecke vom zweiten Tag usw. a. Gib an, wie weit der Radfahrer nach 3 Wochen gefahren ist. b. Wie lange braucht der Radfahrer um sein Ziel, das 1 000 km entfernt ist, zu erreichen? Begründe die Antwort. 137 Finde eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 5, die den Grenzwert 1 000 besitzt. 138 Finde durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division der Folgen ​ k  1 + ​  1 _  n 2 ​  l ​und ​ k  2 + ​ 2  ​  1 _ 3 ​  3 ​ n ​  l ​eine Folge, die gegen 3 konvergiert. 139 Zeige, dass die Folge ​ k  3 + ​  n _  n + 1 ​  l ​streng monoton wachsend ist. D B, D D D B, D A B B A, B, D B B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv