Mathematik HTL 3, Schulbuch

4 Ein Blick ins Buch Jedes Kapitel beginnt mit einer Auftaktseite , die einen Überblick über die Abschnitte des Kapitels gibt. Am Beginn jedes Abschnitts werden die Kompetenzen vorgestellt, die in diesem Abschnitt erworben werden. In den Abschnitten wechseln Theorie und Aufgaben ab, sodass die neuen Inhalte gleich angewandt, verstanden und geübt werden können. Verwendete Abkürzungen: DGS … dynamische Geometriesoftware CAS … Computeralgebrasystem GTR … graphikfähiger Taschenrechner Eine besondere Hilfe sind die Kennzeichnungen „ Tipp “ und „ Achtung “, die darauf aufmerksam machen, welche Strategien beim Lösen mathematischer Fragestellungen angewendet werden können und wo man besonders aufpassen sollte. Wichtige mathematische Inhalte (Definitionen, Sätze…) sind in gelben Kästen hervorgehoben. In blauen Kästen finden sich Musteraufgaben , die zeigen, wie Aufgaben gelöst werden können. 135 3 Integralrechnung 3.1 IntegrationalsUmkehrungderDifferentiation (Stammfunktionen) 3.2 Rechenregeln fürdie Integration 3.3 Dasbestimmte Integral 3.4 Numerische Integration 3.5 Anwendungender Integralrechnung Zusammenfassungund zusammenfassendeAufgaben HTL_3.indb 135 25.06.2013 14:10:32 174 Integralrechnung Berechnungbestimmter Integrale durch Substitution ErinnernwirunsandieKettenregelderDifferentiation:DieZusammensetzung f ° g von zwei differenzierbaren Funktionen fundg istdifferenzierbarund ihreAbleitung ist (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’. Füralle reellenZahlen t imDefinitionsbereich vong istalso (f ° g)’(t) = f’(g(t))·g’(t), dieAbleitungderersten Funktion fanderStelleg(t)wirdalsomitderAbleitungder zweiten FunktionganderStelle tmultipliziert. Daher ist f ° g eineStammfunktion von (f’ ° g)·g’und : a b f’(g(t))·g’(t)dt = : a b (f ° g)’(t)dt = (f ° g)(b) – (f ° g)(b)= f(g(b)) – f(g(a))= : g(a) g(b) f’(z)dz. Schreibenwirh für f’,dann ist : a b h(g(t))·g’(t)dt= : g(a) g(b) h(z)dz. Wirhabendamitdie „Substitutionsregel”bewiesen: Ist I ein Intervall in R ,h: I ¥R eine stetige Funktionundg: [a;b] ¥R ,einedifferenzierbare Funktion,derenBild in I enthalten istundderenAbleitung stetig ist,dann ist : g(a) g(b) h(z)dz= : a b h(g(t))·g’(t)dt . Tipp EineMerkregeldazu: „Ersetztman im Integral : g(a) g(b) h(z)dzdasZeichen zdurchg(t),dannmuss dzdurchg’(t)dtersetztwerdenunddie Integrationsgrenzendurchaundb.” 811 Berechnedie Fläche zwischendem Intervall 4 0; π _ 2 5 unddemGraphender Funktionhmit h(z) = sin(2z). Diegesuchte Fläche ist : 0 π _ 2 sin(2z)dz.Wir ersetzen zdurchg(t)= t _ 2 ,dzdurch 1 _ 2 dtunddie Integrationsgrenzendurch 0und π (weilg(0)=0undg( π ) = π _ 2 ist)underhalten : 0 π _ 2 h(z)dz= 1 _ 2 : 0 π sin 2 2· t _ 2 3 dt = 1 _ 2 : 0 π sin(t)dt = 1 _ 2 (‒cos(t)) 1 0 π = 1 _ 2 (‒cos( π )+ cos(0))= 1. 812 Berechnedasbestimmte Integral. a. : 2 3 (2t+ 1) 3 dt c. : 0 1 (‒3t+ 4) 4 dt e. : ‒1 2 (3t+ 4) 4 dt g. : 0 4 (5t+ 1) 3 dt b. : ‒1 2 (t –2) 2 dt d. : 2 3 2 1 _ 2 t – 1 3 3 dt f. : ‒5 0 2 ‒ 1 _ 4 t+2 3 3 dt h. : ‒2 1 2 1 _ 2 t –4 3 4 dt 813 Ermittledasbestimmte Integral. a. : 1 5 e 2t dt c. : ‒ π 0 sin 2 t _ 2 3 dt e. : 1 5 ln(2t)dt g. : 0 5 2 _ 3t+ 1 dt b. : 0 2 e t _ 2 – 1 dt d. : 0 π _ 6 3cos(3t)dt f. : 1 2 t·ln(t 2 )dt h. : –2 1 4 _ 8 –5x dt Substitutions- regel B eine Fläche durch Substitution berechnen B B HTL_3.indb 174 25.06.2013 14:11:02 145 3.2 Rechenregeln für die Integration Ich lerneRechenregeln fürdie Integrationkennenund ihreHerleitung zu verstehen. Ich lerneRechenregeln fürdie Integration zunützen,umStammfunktionen vielerweiterer Funktionen zuberechnen. Summen- und Faktorregel InKapitel2habenwirRechenregeln fürdieDifferentiation kennengelernt, zumBeispieldie Summenregel: Für zweidifferenzierbare Funktionen fundg ist f±gdifferenzierbarund (f ±g)’ = f’±g’. Also ist f ±g eineStammfunktion für f’ ±g’.Weil fundgStammfunktionen von f’undg’ sind, bedeutetdas: StammfunktionenderSummeoderDifferenz zweier Funktionen sindSummeoderDifferenz von Stammfunktionendieser zwei Funktionen,kurz: : (f±g)(t)dt = : f(t)dt± : g(t)dt + c Beispiel: : (sin(x)+ cos(x))dx= : sin(x)dx+ : cos(x)dx = ‒cos(x)+ sin(x)+ c FüreineZahlaund einedifferenzierbare Funktion ist (a·f)’ =a·f’.Also ista·f eineStamm- funktion füra·f’.Dahergilt: EineStammfunktiondesVielfachen einer Funktion ist einVielfaches einerStammfunktiondieser Funktion,kurz: : (a·f)(t)dt = a· : f(t)dt + c Beispiel: : 4x 3 dx = 4· : x 3 dx= 4· 1 _ 4 x 4 + c = x 4 + c 645 Berechne eineStammfunktionder Funktion fmit f(t) =3sin(t)+2t 3 – t. NachderSummenregelundder Faktorregel ist : f(t)dt = : (3sin(t)+2t 3 – t)dt = = : 3sin(t)dt+ : 2t 3 dt – : tdt =3 : sin(t)dt+2 : t 3 dt – : tdt = = ‒3cos(t)+ 1 _ 2 t 4 – 1 _ 2 t 2 + c. 646 Berechnedasunbestimmte Integral.Dokumentiere,welcheRegeldudabei verwendest. a. : 3x 4 dx c. : 4 _ y dy e. : 7dz g. : 3t t 3 _ 2 dt b. : 2 1 _ x dx d. : ye 2 dy f. : 7 _ 5z 2 dz h. : t 2 ·tdt 647 Berechnedasunbestimmte Integral. a. : x 3 _ 7 dx b. : 3x 5 _ 8 dx c. : x _ 2 dx d. : 3 _ 5x 4 dx 648 Ermittledasunbestimmte Integral.Dokumentiere,welcheRegelndu verwendest. a. : (3x+ 1)dx c. : 2 1+ 1 _ y 3 dy e. : 3+ z _ z 2 dz g. : (2t+ 4) 2 dt b. : 2 2x 3 – x 2 _ 2 3 dx d. : 2 3 – 2 _ y 2 3 dy f. : 1 – 9 _ z _ z dz h. : (5t –3) 2 dt Summenregel der Integration Faktorregelder Integration B ggb zr6539 eineStamm- funktionmithilfe derSummen- und Faktorregel berechnen B B B,C HTL_3.indb 145 25.06.2013 14:10:40 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv