Mathematik HTL 3, Schulbuch

38 Zusammenfassung: Konvergente Folgen und stetige Funktionen Zusammenfassende Aufgaben 115 Eine Spirale besteht aus einem Halbkreis mit Durchmesser d, an den ein weiterer Halbkreis mit Durchmesser ​  3 _ 4 ​d angeschlossen ist und so weiter. a. Berechne für einen Durchmesser von d = 10 cm, wie lang eine Spirale ist, die aus insgesamt 10 Halbkreisen besteht. b. Gib für jeden beliebigen Anfangsdurchmesser die Länge der Spirale bei n Halbkreisen an. Bestimme den Grenzwert der Folge dieser Längen für n gegen unendlich. 116 Gib jeweils drei verschiedene Folgen an, die gegen den gegebenen Grenzwert konvergieren. a. ‒1 b. 0 c. 500 d. π 117 Stelle mithilfe des teilweise abgebildeten Graphen der Folge fest, ob diese streng monoton wachsend oder streng monoton fallend sein kann. a. c. b. d. 118 Überlege mithilfe des Graphen der Folge, ob die Folge konvergiert oder divergiert. a. geometrische Folge k a·q n  l mit a = ‒ 2 und q = 3 b. ​ k 5 – ​  1 _ n ​  l ​ c. a 0 = 5, a n + 1 = ​  1 _ 2 ​a n 119 Spiralen können auch aus Viertelkreisen zusammengesetzt werden. Experimentiert mit Spiralen, die sich aus Viertelkreisen zusammensetzen und gebt deren Konstruktionsvorschrift in Worten an. Wählt dann eine Spirale aus und konstruiert diese. Berechnet dann für diese Spirale deren Länge für  a. n Viertelkreise und  b. den Grenzwert dieser Längen für n gegen unendlich. 120 Entscheide, ob die Folge konvergent ist und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert. a. ​ k  ​  n + 2 _  3n 2 – 1 ​ l ​ b. ​ k  ​  4n 2 – n _ 2n 2 – 3 ​  l ​ c. ​ k  ​  n + 1 _  n 2 + 1 ​  l ​ d. ​ k  ​  3n 3 + n 2 __ ​n​ 4 ​+ 2n 3 ​  l ​ 121 Gib an, welche der Folgen konvergent sind. Begründe. A  geometrische Folge k a·q n  l mit a = ​  1 _ 4 ​ , q = ​  1 _ 2 ​ B  ​ k  ‒1 + ​ 2  ​  1 _ 5 ​  3 ​ 2n ​  l ​ C  ​ k 2n + ​  1 _ n ​  l ​ 122 Berechne mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 40 Glieder der Folge und gib an, ab welchem Index n die Glieder kleiner als ε sind. a. ​ k  ​  1 _  n 2 + n ​  l ​ ;  ε = ​  1 _  100 ​ b.  ​ k  ​  1 _  n 2 + 4 ​  l ​ ;  ε = ​  1 _  10000 ​ c. ​ k  ​  n 2 + 1 __  n 3 – n + 1 ​ l ​ ;  ε = ​  1 _  20 ​ A, B A C n a n 0 1 2 3 4 1 -1 n a n 0 1 2 3 4 1 -1 n a n 0 1 2 3 4 -1 - 2 n a n 0 1 2 3 4 1 -1 C A, B, C B, C D B Englisch 8df7pb Individualisierung k6xd3v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv