Mathematik HTL 3, Schulbuch

37 Zusammenfassung: Konvergente Folgen und stetige Funktionen Die Reihe ​ k   ​ ;  i = 0 ​  n ​ a·q i ​  l ​der geometrischen Folge k a·q n  l heißt geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. Die geometrische Reihe ​ k   ​ ;  i = 0 ​  n ​ a·q i ​  l ​mit Anfangsglied a und Quotient q ist genau dann konvergent, wenn † q † < 1 ist. In diesem Fall ist ​ ;  i = 0 ​  • ​ a·q i ​= ​lim    k ¥• ​​ ;  i = 0 ​  k ​ a·q i ​= ​  a _  1 – q ​ . Wir betrachten eine Teilmenge M von R und eine Funktion f von M nach R . Zu jeder Folge k a n  l von Zahlen in M erhalten wir eine weitere Folge, wenn wir die Funktionswerte der Folgenglieder a n bezüglich f berechnen, nämlich k f(a n ) l . Wir nennen diese Folge das Bild k f(a n ) l der Folge k a n  l bezüglich f. Eine Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R heißt stetig in a * M oder stetig an der Stelle a * M , wenn für alle konvergenten Folgen k a n  l in M mit Grenzwert a auch die Folge k f(a n ) l konvergent ist und ihr Grenzwert f(a) ist. Die Funktion f ist stetig , wenn sie in jedem Element von M stetig ist. Die Graphen von stetigen Funktionen haben keine „Sprungstellen“. Summen, Differenzen und Produkte von stetigen Funktionen sind stetig. Alle rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Exponentialund Logarithmusfunktionen sind stetig. Graph einer Funktion, die nicht stetig ist: Graph einer stetigen Funktion: Für eine reelle Zahl b, die Grenzwert zumindest einer Folge in M ist, schreiben wir ​ lim    z ¥ b ​f(z) = t, falls für jede Folge k b n  l in M, die gegen b konvergiert, gilt: ​lim    n ¥• ​ f(b n ) = t. Die Zahl t heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle b. Wenn f stetig und b ein Element von M ist, dann muss ​lim    n ¥• ​ f(b n ) = f(b) sein. Ist [a; b] ein abgeschlossenes Intervall, das im Definitionsbereich einer stetigen Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R enthalten ist, und ist y eine Zahl zwischen f(a) und f(b), dann gibt es eine Zahl c im Intervall [a; b] mit f(c) = y. Wir betrachten eine Funktion f mit Wertebereich R , deren Definitionsbereich eine positive Halbgerade von R enthält. Wir schreiben ​lim    z ¥• ​ f(z) = t, falls es für jede positive reelle Zahl ε eine reelle Zahl a gibt, sodass für alle reellen Zahlen b mit b > a gilt: † f(b) – t † < ε . Die Zahl t heißt Grenzwert der Funktion f bei gegen unendlich gehenden Argumenten . Der Graph einer linearen Funktion g von R nach R heißt Asymptote des Graphen von f bei unendlich , wenn ​lim    z ¥• ​† f(z) – g(z) † = 0 ist. geometrische Reihe Grenzwert der geometrischen Reihe Bild einer Folge bezüglich einer Funktion stetige Funktionen x y 0 -1 1 2 3 4 5 -1 - 2 1 2 x y 0 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 Grenzwert einer Funktion an der Stelle b Zwischen­ wertsatz Grenzwert einer Funktion bei gegen unend- lich gehenden Argumenten Asymptote Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv