Mathematik HTL 3, Schulbuch

36 Zusammenfassung Eine Folge f: N ¥ R , n ¦ f n ist streng monoton wachsend , wenn für alle natürlichen Zahlen m und n gilt: Aus m < n folgt f m < f n . Eine Folge f: N ¥ R , n ¦ f n ist streng monoton fallend , wenn für alle natürlichen Zahlen m und n gilt: Aus m < n folgt f m > f n . Die geometrische Folge k q n l ist streng monoton wachsend, wenn q > 1 ist, und streng monoton fallend, wenn 0 < q < 1 ist. Eine Folge heißt alternierend , wenn die Vorzeichen von je zwei aufeinander folgenden Folgengliedern verschieden sind. Für q < 0 ist die geometrische Folge k q n l alternierend. Eine Zahl c ist ein Grenzwert oder Limes der Folge k f n l , wenn es zu jeder positiven reellen Zahl ε eine natürliche Zahl m gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen n, die größer als m sind, der Abstand † f n – c † zwischen f n und c kleiner als ε ist. Eine Folge k f n l ist konvergent , wenn sie einen Grenzwert hat. In diesem Fall sagen wir, dass die Folge gegen den Grenzwert konvergiert . Wir schreiben für „die Folge k f n l konvergiert gegen c“ kurz lim    n ¥• f n = c. Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann heißt sie divergent . Eine geometrische Folge mit Quotient q ≠ 0 konvergiert gegen 0, wenn ‒1 < q < 1 ist. Sie konvergiert gegen das Anfangsglied, wenn q = 1 ist. Für andere Quotienten q ist eine geometrische Folge (mit von 0 verschiedenem Anfangsglied) divergent. Wenn zwei Folgen konvergent sind, dann ist auch ihre Summe, ihre Differenz und ihr Produkt konvergent und es gilt: lim    n ¥• (f n + g n ) = lim    n ¥• f n + lim  n ¥• g n lim    n ¥• (f n – g n ) =lim   n ¥• f n – lim  n ¥• g n lim    n ¥• (f n ·g n ) = lim  n ¥• f n ·lim    n ¥• g n Wenn zwei Folgen f und g konvergent sind und alle Folgenglieder von g sowie der Grenzwert von g ungleich 0 sind, dann ist auch der Quotient   f _ g konvergent und es gilt: lim    n ¥• 2    f n _ g n   3 =   lim   n ¥• f n _  lim   n ¥• g n Die Reihe einer Folge f = k f n l ist die Folge k f 0 , f 0 + f 1 , f 0 + f 1 + f 2 , …, f 0 + f 1 + f 2 + … + f n , … l = k    ;  i = 0   n f i   l . Wenn die Reihe der Folge k f n l konvergiert, schreiben wir für den Grenzwert der Reihe statt lim  k ¥• ;  i = 0   n f i kurz ;  i = 0   • f i . streng monoton wachsende Folge streng monoton fallende Folge Monotonie der geometrischen Folge alternierende Folge Grenzwert oder Limes einer Folge konvergente Folge divergente Folge Konvergenz von geometrischen Folgen Grenzwerte von Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen Reihe einer Folge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv