Mathematik HTL 3, Schulbuch

34 Konvergente Folgen und stetige Funktionen Asymptoten Wir betrachten eine Funktion f mit Wertebereich R , deren Definitionsbereich eine positive Halbgerade von R enthält. Wir schreiben lim    z ¥• f(z) = t (sprich: „der Limes oder Grenzwert der Funktion f, wenn z gegen unendlich geht“), falls es für jede positive reelle Zahl ε eine reelle Zahl a gibt, sodass für alle reellen Zahlen b mit b > a gilt: † f(b) – t † < ε . Die Zahl t heißt Grenzwert der Funktion f bei gegen unendlich gehenden Argumenten . Der Graph einer linearen Funktion g von R nach R heißt Asymptote (nach dem griechischen Wort für „nicht zusammenfallend“) des Graphen von f bei unendlich , wenn gilt: lim  z ¥• † f(z) – g(z) † = 0 Wir betrachten eine Funktion f mit Wertebereich R , deren Definitionsbereich eine negative Halbgerade von R enthält. Wir schreiben  lim     z ¥ ‒ • f(z) = t (sprich: „der Limes oder Grenzwert der Funktion f, wenn z gegen minus unendlich geht“), falls es für jede positive reelle Zahl ε eine reelle Zahl a gibt, sodass für alle reellen Zahlen b mit b < a gilt: † f(b) – t † < ε . Die Zahl t heißt Grenzwert der Funktion f bei gegen minus unendlich gehenden Argumenten . Der Graph einer linearen Funktion g von R nach R heißt Asymptote (nach dem griechischen Wort für „nicht zusammenfallend“) des Graphen von f bei minus unendlich , wenn gilt:  lim     z ¥ ‒ • † f(z) – g(z) † = 0 Beispiele: Die Exponentialfunktion f mit f(z) = e z hat einen Grenzwert, wenn ihre Argumente gegen ‒ • gehen: lim    z ¥ ‒ • f(z) = lim     z ¥ ‒ • e z = 0. Die x-Achse ist daher eine Asymptote ihres Graphen bei ‒ • . Die Exponentialfunktion hat jedoch keinen Grenzwert, wenn ihre Argumente gegen • gehen. Der Graph der identischen Funktion g mit g(z) = z ist eine Asymptote bei • des Graphen der Funktion f: (1; • ) ¥ R , z ¦ 9 ___ z 2 – 1 . Asymptote der Exponentialfunktion Asymptote der Funktion z ¦ 9 ___ z 2 – 1 Grenzwert einer Funktion bei gegen • gehenden Argumenten ggb uz2g4j x y f g Asymptote ggb 52pe7m Grenzwert einer Funktion bei gegen ‒ • gehenden Argumenten x y f g Asymptote x y 0 - 3 - 4 - 2 -1 1 2 -1 1 2 4 3 f g x y 0 -1 1 2 3 4 5 1 -1 2 3 4 f g Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv