Mathematik HTL 3, Schulbuch

33 1.3 Grenzwerte von Funktionen und stetige Funktionen Aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine Polynomfunktion f vom Grad 3 hat mindestens eine reelle Nullstelle. Denn: Da der Leitkoeffizient der Polynomfunktion nicht 0 ist, können wir die Polynomfunktion durch ihren Leitkoeffizienten dividieren und erhalten eine Polynomfunktion mit Leitkoeffi­ zient 1, die aber dieselben Nullstellen wie f hat. Wir schreiben den Funktionswert f(x) an der Stelle x als x 3 + px 2 + qx + r an. Es gibt eine (genügend große) positive Zahl b mit f(b) = b 3 + pb 2 + qb + r > 0 und eine negative Zahl a (mit genügend großem Betrag) mit f(a) = a 3 + pa 2 + qa + r < 0. Also liegt 0 im Intervall [f(a); f(b)] und nach dem Zwischen­ wertsatz muss es eine Zahl c mit f(c) = 0 geben. Tipp Man kann Intervalle von stetigen Funktionen, in denen sich Nullstellen befinden, so ermitteln: Man sucht zwei Zahlen a und b, deren Funktionswerte bezüglich dieser Funktion f verschiedenes Vorzeichen haben. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es im Intervall [a; b] eine Nullstelle von f. 102 Zeige, dass es im Intervall ​ 4  ​  π _ 2 ​ ; π  5 ​ eine Zahl c mit 2·sin(c) = c gibt. Die Funktion f mit f(t) = 2·sin(t) – t hat an der Stelle ​  π _ 2 ​den Funktionswert f​ 2  ​  π _ 2 ​  3 ​= 2 – ​  π _ 2 ​> 0 und an der Stelle π den Funktionswert f( π ) = ‒ π < 0. Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass es im Intervall ​ 4  ​  π _ 2 ​ ; π  5 ​ (mindestens) eine Nullstelle von f gibt, also eine Zahl c mit 2·sin(c) – c = 0. Für die Zahl c ist 2·sin(c) = c. 103 In welchem der Intervalle befindet sich eine Nullstelle der Funktion f von R nach R mit f(t) = t·sin(t) – 1? Begründe. A  ​ 4 ‒ ​  π _ 2 ​ ; 0  5 ​ B  ​ 4 0; ​  π _ 2 ​  5 ​ C  ​ 4  ​  π _ 2 ​ ; π  5 ​ D  ​ 4 π ; ​  3 π _ 2  ​  5 ​ 104 Finde eine positive reelle Zahl z so, dass die Polynomfunktion f mit Grad 3 eine Nullstelle im Intervall [‒ z; z] hat und begründe, warum. a. f(x) = x 3 – x 2 – 3x + 1 c. f(x) = 3x 3 – 65x 2 – 40x + 100 b. f(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 1 d. f(x) = x 3 + 1 000x 2 + 1 105 Bestimme für die Funktion f mit f(x) = sin(x + 1) + x ein Intervall [‒ z; z] so, dass dieses eine Nullstelle der Funktion enthält. 106 Zeige, dass eine Polynomfunktion mit Grad 5 mindestens eine Nullstelle hat. 107 Finde ein Intervall [a; b] mit b – a = ε , in dem die gesuchte Zahl c liegt. a. c mit c 3 = 7;  ε = 0,1 b. c mit c 5 – 3 = 0;  ε = 0,01 c. c mit ​e​ ​  ​c​ 2 ​ _  2 ​ ​= 2;  ε = 0,001 108 Ist die „Umkehrung“ des Zwischenwertsatzes richtig? Das heißt, wenn y nicht zwischen f(a) und f(b) liegt, gibt es dann auch keine Zahl c im Intervall [a; b] mit f(c) = y? Zeigt, dass diese Aussage falsch ist. Verwendet dazu die Funktion f mit f(x) = x 2 und findet geeignete Zahlen a, b, c und y, für die die diese Aussage nicht zutrifft. s t (a 1 f(a)) (b 1 f(b)) b a f(b) f(a) D den Zwischen- wertsatz anwenden D D B, C D C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv