Mathematik HTL 3, Schulbuch

32 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 98 Bekannte nicht stetige Funktionen sind die Integerfunktion oder die HeavisideFunktion. Recherchiert mithilfe des Internets diese Begriffe und notiert die Zuordnungsvorschriften dieser Funktionen. Zeichnet die Graphen der Funktionen. Können diese Funktionen auch in einem Tabellenkalkulationsprogramm, einem CAS oder einem TR verwendet werden? Erweitert eure Übersicht um die entsprechenden Befehle. 99 Betrachte die Graphen von Funktionen, die in der Elektronik verwendet werden, um verschiedene Signale zu beschreiben. Gib jeweils an, wo die Funktionen stetig sind und wo nicht. Beachte dabei, dass Strecken, die parallel zur zweiten Koordinatenachse verlaufen, nicht zum Graphen gehören. Sie werden nur der Übersichtlichkeit halber eingefügt. Rechteckspannung Rechteckimpuls Treppenspannung Trapezspannung 100 Begründe, warum die Funktion stetig ist. Benutze dazu, dass die Summe, die Differenz, das Produkt und gegebenenfalls der Quotient von stetigen Funktionen stetig sind. a. f mit f(t) = sin(t)·e t + 2t b. g mit g(t) = ​  † t † _  1 + t 2 ​ c. h mit h(t) = 2·sin(t) + 3·cos(t) 101 Mit f bezeichnen wir die Funktion von R \{0} nach R mit f(t) = sin​ 2  ​  π _ t ​  3 ​ . a. Die Folge ​ k  ​  1 _  n + 1 ​  l ​konvergiert gegen 0. Zeige, dass die Bildfolge ​ k  f​ 2  ​  1 _  n + 1 ​  3 ​  l ​gegen 0 konvergiert. b. Die Folge ​ k  ​  2 _  4n + 1 ​  l ​konvergiert gegen 0. Zeige, dass die Bildfolge ​ k  f​ 2  ​  2 _  4n + 1 ​  3 ​  l ​gegen 1 konvergiert. c. Schließe aus den Aufgaben a. und b. , dass für jede reelle Zahl u die Funktion g von R nach R mit g(0) = u und g(t) = f(t), wenn t ≠ 0 ist, nicht stetig sein kann. d. Skizziere den Graphen der Funktion f. Der Zwischenwertsatz Für stetige Funktionen gilt der Zwischenwertsatz, den wir ohne Begründung anführen: Ist [a; b] ein abgeschlossenes Intervall, das im Definitions- bereich einer stetigen Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R enthalten ist, und ist y eine Zahl zwischen f(a) und f(b), dann gibt es eine Zahl c im Intervall [a; b] mit f(c) = y. Tipp Wie sehen Graphen von stetigen Funktionen aus? Diese können „in einem Zug“ gezeichnet werden, ohne den Bleistift „absetzen“ zu müssen. Graph einer stetigen Funktion: Graph einer Funktion, die nicht stetig ist: B, C C t U t U t U t U D B, D s t f (b) y = f (c) f (a) c a b (a 1 f (a) ) (b 1 f (b) ) Zwischen­ wertsatz  ggb 9xn72w s t s t ? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv