Mathematik HTL 3, Schulbuch

31 1.3 Grenzwerte von Funktionen und stetige Funktionen Aus den Überlegungen zum Rechnen mit konvergenten Folgen im Abschnitt 1 folgt unmittelbar: Summen, Differenzen und Produkte von stetigen Funktionen sind stetig. Weil die identische Funktion stetig ist, folgt daraus, dass auch alle Potenzfunktionen und Polynomfunktionen stetig sind. Wenn der Quotient von stetigen Funktionen existiert (wenn also der Divisor im Definitionsbereich keine Nullstelle hat), ist er auch stetig. Insbesondere sind rationale Funktionen in allen Elementen ihres Definitionsbereichs stetig. Man kann zeigen, dass die Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion, Cotangensfunktion und alle Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen stetig sind. 92 a. Überprüfe, ob das Bild der gegen 1 konvergierenden Folge k 1 +   1 _  n l bezüglich der rationalen Funktion f mit f(x) =   1 _  3 – x konvergiert. Wenn ja, berechne den Grenzwert. b. Leite das Ergebnis noch einmal her, indem du verwendest, dass rationale Funktionen stetig sind. a. Das Bild der Folge k 1 +   1 _ n   l bezüglich f ist die Folge k    1 _  2 ‒   1 _ n   l . Diese Folge konvergiert gegen   1 _ 2 . b. Die Folge k 1 +   1 _ n   l konvergiert gegen 1. Da 1 im Definitionsbereich der rationalen Funktion f liegt und rationale Funktionen stetig sind, muss das Bild von k 1 +   1 _  n   l bezüglich dieser Funktion gegen ihren Funktionswert an der Stelle 1, also   1 _  3 – 1 =   1 _ 2 , konvergieren. 93 Untersuche, ob die Bilder der Folge k    1 _ n   l bezüglich der gegebenen rationalen Funktion f ebenfalls konvergieren. Notiere zuerst die ersten fünf Glieder der Bildfolge. a. f(x) = x b. f(x) =   1 _ x c. f(x) = x 2 d. f(x) =   1 _  x + 1  94 Untersuche, ob für die gegen 3 konvergente Folge k 3 –   1 _ n   l auch die Bilder der Folge bezüglich der gegebenen rationalen Funktion f konvergieren. a. f(x) = x – 3 b. f(x) =   1 _ x c. f(x) =   1 _  x – 3 d. f(x) = 3 –   1 _ x 95 Gib für die gegebene rationale Funktion f den Definitionsbereich an. Zeichne den Graphen der Funktion. Untersuche, ob das Bild einer Folge im Definitionsbereich, die gegen eine Zahl außerhalb des Definitionsbereichs konvergiert, auch konvergent ist oder nicht. a. f(x) =   1 _ x b. f(x) =   2 _  x 2 c. f(x) =   x 2 – 4 _ x – 2  d. f(x) = 1 +   1 _ x 96 Gib an, an welchen Stellen die Funktion mit dem dargestellten Graphen nicht stetig ist. Gib Folgen an, deren Bilder nicht gegen den Funktions wert des Grenzwertes der Folgen konvergieren. 97 Eine Eintrittskarte in ein Thermalbad kostet 18€ für eine Badezeit von bis zu 2 Stunden. Darüber hinaus werden 8€ pro angefangener Stunde verrechnet. a. Zeichne den Graphen der Funktion, die jeder positiven reellen Zahl t ª 10 die Gesamtkosten bei t Stunden Badezeit zuordnet. b. Gib an, wo diese Funktion stetig ist und wo nicht. c. Finde eine Folge, die gegen eine der Stellen, bei der die Funktion nicht stetig ist, konvergiert, aber deren Bild nicht gegen das Bild des Grenzwertes konvergiert. stetige Funktionen B, D den Grenzwert einer rationalen Funktion an einer Stelle berechnen B, D B, D B, D A, C x y 0 -1 1 -1 1 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv