Mathematik HTL 3, Schulbuch

30 Konvergente Folgen und stetige Funktionen Das Bild einer konvergenten Folge bezüglich einer beliebigen Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R kann eine konvergente oder eine divergente Folge sein. Wenn a der Grenzwert der konvergenten Folge ist und das Bild dieser Folge konvergent mit Grenzwert c ist, dann kann, aber muss nicht immer c = f(a) sein. Eine Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R heißt stetig in a * M oder stetig an der Stelle a * M , wenn für alle konvergenten Folgen k a n l in M mit Grenzwert a auch die Folge k f(a n ) l konvergent ist und ihr Grenzwert f(a) ist. Die Funktion f ist stetig , wenn sie in jedem Element von M stetig ist. Für eine reelle Zahl b, die Grenzwert zumindest einer Folge in M ist, schreiben wir  lim  z ¥ b f(z) = t (sprich: „der Limes oder Grenzwert der Funktion f, wenn z gegen b geht“), falls für jede Folge k b n l in M, die gegen b konvergiert, gilt: lim    n ¥• f(b n ) = t. Die Zahl t heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle b. Wenn f stetig und k b n l eine Folge in M ist, die gegen b * M konvergiert, dann muss gelten: lim  n ¥• f(b n ) = f(b) Beispiele: Die identische Funktion x: R ¥ R , z ¦ z ist stetig. Denn: Das Bild einer Folge k a n l mit Grenzwert a bezüglich x ist diese Folge selbst, ihr Grenzwert a ist das Bild von a bezüglich x. Konstante Funktionen c: R ¥ R , z ¦ c sind stetig. Die Betragsfunktion † x † : R ¥ R , z ¦ † z † ist stetig. Die oben betrachteten Funktionen f, g und h sind nicht stetig. z y 0 -1 - 0,5 0,5 1 - 8 - 4 4 8 z y 0 -1 1 -1 1 z y 0 1 -1 1 (a 1 f (a) ) (a 1 1 f (a 1 ) ) (a 2 1 f (a 2 ) ) f (a 1 g (a) ) (a 1 1 g (a 1 ) ) (a 2 1 g (a 2 ) ) g (a 1 h (a) ) (a 1 1 h (a 1 ) ) (a 2 1 h (a 2 ) ) h stetige Funktion Grenzwert einer Funktion an der Stelle b z y 0 1 2 1 2 (a 1 x (a) ) (a 1 1 x (a 1 ) ) (a 2 1 x (a 2 ) ) z y 0 1 2 1 2 (a 1 c (a) ) (a 1 1 c (a 1 ) ) (a 2 1 c (a 2 ) ) z y 0 1 2 1 2 (0 1 0 ) (a 1 1 1 a 1 1 ) (a 2 1 1 a 2 1 ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv