Mathematik HTL 3, Schulbuch

29 1.3 Grenzwerte von Funktionen und stetige Funktionen Wir bezeichnen mit f, g und h die Funktionen von R nach R , die durch f(z) = 0, wenn z = 0 ist und f(z) =   1 _ z , wenn z ≠ 0 ist g(z) = 1, wenn z > 0 ist und g(z) = 0, wenn z ª 0 ist h(z) = sin 2   π _ z   3 , wenn z ≠ 0 ist und h(z) = 0, wenn z = 0 ist definiert sind. Die Folge k    1 _ n   l (wir beginnen bei dieser Folge mit n = 1) konvergiert gegen 0. Ihre Bilder bezüglich der Funktionen f, g und h sind k  f 2   1 _ n   3   l = k n l = k 1, 2, 3, 4, …, n, … l k g 2   1 _ n   3   l = k 1 l = k 1, 1, …, 1, … l k h 2   1 _ n   3   l = k 0 l = k 0, 0, …, 0, … l Das Bild der Folge bezüglich f konvergiert nicht, das Bild bezüglich g konvergiert, aber nicht gegen g(0), das Bild bezüglich h konvergiert gegen h(0). Die Folge k    ‒2 _  4n + 1   l konvergiert auch gegen 0. Ihre Bilder bezüglich den Funktionen f, g und h sind k  f 2    ‒2 _  4n + 1   3   l = k  ‒   4n + 1 _ 2    l = k  ‒   1 _ 2 , ‒   5 _ 2 , ‒   9 _ 2 , …, ‒   4n + 1 _ 2  , …  l k  g 2    ‒2 _  4n + 1  3   l = k 0 l = k 0, 0, …, 0, … l k  h 2    ‒2 _  4n + 1   3   l = k ‒1 l = k ‒1, ‒1, …, ‒1, … l (Beachte, dass für alle natürlichen Zahlen sin 2    ‒(4n + 1) π __ 2    3 = ‒1 ist!) Das Bild bezüglich f konvergiert nicht, das Bild bezüglich g konvergiert gegen g(0), das Bild bezüglich h konvergiert, aber nicht gegen h(0). ggb 5t3ap2 z y 0 -1 - 0,5 0,5 1 - 8 - 4 4 8 z y 0 -1 1 -1 1 z y 0 1 -1 1 f g h z y 0 -1 - 0,5 0,5 1 - 8 - 4 4 8 z y 0 -1 1 -1 1 z y 0 1 -1 1 (a 1 f (a) ) (a 1 1 f (a 1 ) ) (a 2 1 f (a 2 ) ) f (a 1 g (a) ) (a 1 1 g (a 1 ) ) (a 2 1 g (a 2 ) ) g (a 1 h (a) ) (a 1 1 h (a 1 ) ) (a 2 1 h (a 2 ) ) h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv